第一章 函数 1
1 实数概述 1
一 实数的主要特征 1
二 绝对值不等式、邻域、空心邻域 2
练习1.1 4
2 函数概念 4
一 函数的概念 4
二 基本初等函数 7
练习1.2 12
一 单调函数 14
3 几种特殊类型的函数 14
二 奇函数与偶函数 15
三 周期函数 15
四 有界函数 17
练习1.3 18
4 函数的运算 20
一 四则运算 20
二 反函数 21
三 复合函数 23
练习14 24
习题一 25
1 数列极限的概念 28
一 极限思想 28
第二章 极限 28
二 数列｛(n-1)/n｝的极限 29
二 数列极限定义 31
练习2.1 35
2 收敛数列的性质 36
练习2.2 41
3 数列的收敛判别法 42
练习2.3 48
4 函数极限 49
一 函数极限概念 49
二 函数极限的定理 59
三 函数极限存在的判定 63
练习2.4 66
5 两个重要的极限 67
一 lim(x→0)sinx/x＝1 67
二 lim(x→∞)(1＋1/x)x＝e 70
练习2.5 72
6 无穷小量与无穷大量 73
一 无穷小量 73
二 无穷大量 74
三 无穷小量阶的比较 76
练习2.6 79
习题二 80
一 函数在一点的连续性 83
1 函数的连续性概念 83
第三章 函数的连续性 83
二 间断点及其分类 88
三 区间上的连续函数 90
练习3.1 93
2 连续函数的性质 95
一 连续函数的局部性质 95
二 连续函数的运算性质 95
三 区间上连续函数的基本性质 98
四 一致连续性 100
练习3.2 104
3 初等函数的连续性 106
习题三 108
练习题3.3 108
第四章 导数与微分 110
1 导数概念 110
一 两个典型问题 110
二 导数的定义 112
三 单侧导数 116
四 导数的几何意义 118
五 可导性与连续性的关系 119
练习4.1 120
2 求导法则 122
一 导数的四则运算 122
二 反函数的导数 126
三 复合函数的导数 128
四 基本求导法则与公式 134
五 隐函数求导法 135
六 参数方程表示的函数的求导法 138
练习4.2 143
3 微分 146
一 微分概念 146
二 微分与导数的关系 147
三 微分的几何意义 148
四 微分运算法则 149
练习4.3 154
4 高阶导数与高阶微分 155
一 高阶导数 156
二 莱布尼茨公式 158
三 高阶微分 161
四 其他函数关系的高阶导数 163
练习4.4 166
习题四 168
第五章 中值定理与导数的应用 172
1 微分学基本定理 172
一 费尔马定理 172
二 中值定理 175
三 例 181
练习5.1 183
一 0/0型未定型的极限 185
2 洛比达法则 185
二 ∞/∞型未定型的极限 189
三 其它未定型的极限 191
练习 5.2 193
3 泰勒公式 194
一 泰勒定理 194
二 几个常用函数的麦克劳林公式 199
三 函数的近似计算 200
练习5.3 202
4 函数的单调性与极值 202
一 函数单调性的判别法 202
二 极值的判别法 206
三 最大值与最小值的求法 209
练习5.4 213
5 函数图象的讨论 214
一 曲线的凹凸性与拐点 214
二 曲线的渐近线 216
三 函数图象的讨论 219
练习5.5 223
6 方程的近似解 224
练习5.6 227
习题五 227
五 聚点定理 227
一 闭区间套定理 229
1 实数基本定理 229
第六章 实数基本定理 229
二 确界存在定理 231
三 柯西收敛准则 234
四 有限复盖定理 236
六 收敛子列存在定理 238
2 闭区间上连续函数基本性质定理的证明 238
习题六 244
第七章 不定积分 246
1 不定积分的概念及运算法则 246
一 原函数与不定积分的定义 246
二 不定积分的基本公式 248
三 不定积分的运算法则 250
练习7.1 252
2 不定积分的计算 253
一 换元积分法 253
二 分部积分法 261
练习7.2 266
3 有理函数和可化为有理函数的积分 268
一 有理函数积分法 268
二 三角函数有理式 ∫R(sinx,cosz)dx 型的积分 274
三 形如 ∫R(X,？ax＋b/cx＋d)dx 的积分 277
四 形如 ？R(X,？ax2＋bx＋c)dx 的积分 278
练习7.3 281
习题七 282
第八章 定积分 284
1 定积分的概念 284
一 问题的提出 284
二 定积分的概念 288
练习8.1 291
2 定积分的性质 292
一 可积条件与可积函数类 292
二 定积分的基本性质 293
练习8.2 303
3 定积分的计算 304
一 微积分学基本定理 304
二 换元积分法与分部积分法 308
练习8.3 316
4 定积分的近似计算 318
一 矩形法 318
二 梯形法 319
三 抛物线法 321
练习8.4 325
5 可积条件 326
一 可积的必要条件 326
二 大和与小和 328
三 可积的充要条件 331
四 可积函数类 334
练习8.5 337
习题八 338
第九章 定积分的应用 340
1 平面图形的面积、微元法 340
一 平面图形的面积 340
练习9.1 345
2 已知截面面积函数的立体体积 345
一 微元法 345
二 已知平行截面面积函数的立体体积 346
三 旋转体的体积 348
练习9.2 350
3 曲线的弧长、旋转体的侧面积 350
一 曲线的弧长 350
二 旋转体的侧面积 356
练习9.3 359
4 定积分在物理上的应用 359
一 水压力 359
二 平均值 360
三 平面图形的重心 362
练习9.4 364
5 几个简单的一阶微分方程 364
一 微分方程 364
二 可分离变量的微分方程 366
三 一阶线性微分方程 368
练习9.5 370
习题九 370