第一章 复数和复变函数 1
1.1 复数概念 1
1 复数及其被认识的历史梗概 2
2 复数的算术运算 3
1.2 复数的几何表示 3
1 复数平面 3
2 复数的极坐标形式 4
3 De Moivre公式和复数的n次方根 6
1.3 扩充的复数平面 8
习题(1.1) 10
1.4 平面点集 11
1 某些平面点集合与定理 11
2 区域 12
1.5 复变函数 15
1 函数概念 15
2 极限概念 18
3 连续性 18
习题(1.2) 22
学习指导 23
2.1 复变函数的微商和解析函数概念 49
1 微商和微分 49
第二章 微商与解析函数 49
2 解析函数概念 52
3 C.-R.条件(方程) 53
4 解析函数的性质 56
5 单叶解析函数及其反函数 59
2.2 解析函数与调和函数的关系 60
1 调和函数概念 60
2 解析函数与调和函数间的关系 60
习题(2.1) 62
2.3 某些初等函数的解析性 63
1 初等代数函数 64
2 幂函数和根式函数 65
3 指数函数和对数函数 68
4 三角函数和反三角函数 71
5 双曲线函数和反双曲线函数 75
6 一般的幂函数和一般的指数函数 76
7 关于初等超越函数的定义 80
2.4 用多项式逼近函数 82
1 “偏差”和一致收敛 82
2 用多项式逼近函数 82
习题(2.2) 84
学习指导 85
1 复变函数积分的定义 106
3.1 复变函数积分的概念 106
第三章 复变函数的积分 106
2 复变函数积分的基本性质 109
3 复变函数积分的计算 110
习题(3.1) 115
3.2 Cauchy积分定理及其推广 116
1 Cauchy积分定理及其证明 116
2 Cauchy积分定理的推广 125
3 Cauchy积分定理推广到复连通区域 125
习题(3.2) 129
1 积分上限函数的解析性 130
3.3 不定积分 130
2 不定积分 132
3 Newton-Leibniz公式 133
3.4 Cauchy积分公式 134
1 Cauchy积分公式 134
2 算术平均值定理 137
习题(3.3) 137
3.5 解析函数的无穷可微性 138
1 解析函数的无穷可微性及其证明 138
2 Cauchy不等式 143
4 代数基本定理及其证明 144
3 Liouville定理 144
5 Morera(莫瑞拉)定理 145
6 可以用多项式逼近的函数的解析性 146
3.6 解析函数的最大模原理、Poisson积分 147
1 最大模原理 147
2 Poisson积分公式 149
习题(3.4) 150
学习指导 154
第四章 解析函数的级数展开式 181
4.1 复数项级数 181
1 复数项级数 181
2 复数项级数的性质 182
4.2 函数项级数 184
1 函数项级数概念 184
2 函数项级数的性质 187
3 Weierstrass定理 191
习题(4.1) 195
4.3 幂级数 197
1 幂级数概念 197
2 幂级数的收敛性 197
3 幂级数的收敛半径 200
4 和函数的解析性 200
1 Taylor(泰劳)定理 201
4.4 解析函数的幂级数展开式 201
习题(4.2) 211
4.5 解析函数零点的孤立性、唯一性定理 212
1 解析函数零点的孤立性 212
2 唯一性定理 215
4.6 Laurent级数 217
1 Laurent级数 217
2 Laurent级数的收敛域及其和函数的解析性 218
习题(4.3) 220
4.7 解析函数的Laurent展开式 221
1 Laurent定理 221
2 解析函数展开成Laurent级数的方法 225
4.8 解析函数在孤立奇点邻域的性质 230
1 解析函数在其有限孤立奇点邻域的性质 230
2 解析函数在其无穷远点邻域的性质 236
习题(4.4) 237
学习指导 239
第五章 留数理论及其应用 286
5.1 留数概念 286
1 关于有限远点的留数及其计算 286
2 关于无穷远点的留数及其计算 291
3 留数基本定理 292
习题(5.1) 295
5.2 用留数计算复变函数沿闭路的积分 296
5.3 围道积分 298
习题(5.2) 312
5.4 辐角原理、Rouché定理及其应用 314
1 对数留数 314
2 辐角原理 316
3 Rouché定理及其应用 318
习题(5.3) 321
学习指导 324
1 导数的模及其辐角几何意义 372
6.1 共形映射概念 372
第六章 共形映射 372
2 共形映射的概念 375
6.2 解析函数的映射性质 376
1 解析函数的保域性 376
2 单叶解析函数的共形性 378
3 单叶解析函数的反函数及其解析性 379
6.3 Riemann存在定理及边界对应定理 381
1 共形映射的基本问题 381
2 Riemann存在定理 381
3 边界对应定理 382
1 分式线性映射 384
6.4 分式线性映射 384
2 分式线性映射的共形性 386
3 分式线性映射的保圆性 388
4 对称点的不变性 389
5 交比不变性 391
6 分式线性函数的确定 392
6.5 分式线性映射的应用 394
习题(6.1) 398
6.6 某些初等函数所构成的映射 400
1 幂函数与根式函数的共形映射 400
2 指数函数与对数函数的共形映射 402
3 Жуковский(儒苛夫斯基)函数的映射 404
4 机翼剖面的外部到圆外部的共形映射 408
习题(6.2) 412
6.7 共形映射问题举例 414
习题(6.3) 419
学习指导 421
第七章 解析开拓 473
7.1 解析开拓的一般概念 473
1 解析开拓原理 473
2 完全解析函数 478
7.2 解析开拓的一般方法--幂级数法 480
1 对称原理的特殊情况 485
7.3 Schwarz对称原理 485
2 对称原理应用举例 486
习题(7.1) 488
学习指导 488
第八章 初等多值函数与黎曼曲面 497
8.1 初等多值函数概念 497
1 单值枝与单叶性区域 497
2 分枝、枝点与枝割线 499
3 函数W=？的枝点的判定 503
2 多值函数与黎曼曲面 505
1 黎曼曲面概念 505
8.2 黎曼曲面 505
习题(8.1) 509
学习指导 509
第九章 复变函数论在流体力学上的应用 522
9.1 不可压缩、无源、无旋、稳定的平面流动 522
9.2 解析函数在流体力学上的意义 523
9.3 关于飞机翼升力的计算 528
9.4 圆域上的Dirichlet问题 530
习题(9.1) 533
学习指导 534