第一讲 求极限的方法 1
1.1 利用定义求极限 1
1.2 用哥西(Cauchy)准则来判断有否极限 11
1.3 利用极限运算及已知的极限来求极限 15
1.4 利用不等式求极限 19
1.5 利用变量替换法求极限 23
1.6 利用两个重要极限来求极限 26
1.7 利用单调上升有上界的变量必有极限来求极限 29
1.8 利用函数连续的性质求极限 32
1.9 用洛必达(L′Hospitale)法则求极限 38
1.10 利用泰勒(Taylor)公式求极限 42
第二讲 几个重要的基本概念的正反叙述及其应用 46
2.1 序列的极限 46
2.2 函数的极限 52
2.3 函数在区间上的一致连续 56
2.4 函数项级数与函数序列的一致收敛性 61
3.1 引言--若干数列极限的例子 68
第三讲 一类数列极限的收敛性问题 68
3.2 主题--一类有趣的数列极限问题 71
3.3 理论问题 77
3.4 概述 79
第四讲 泰勒(Taylor)公式及其应用 81
4.1 函数的局部逼近--泰勒公式的皮亚诺(Peano)余项及其应用 81
4.2 函数的整体逼近--泰勒公式的拉格朗日(Lagrange)余项及哥西余项及其应用 95
4.3 拉格朗日与埃尔米特(Hermite)插值公式及其应用 117
4.4 多元函数的泰勒公式及其应用 130
第五讲 一类条件极值问题的处理 141
5.1 不等式与规划 141
5.2 一般条件极值问题 149
第六讲 一致收敛序列与广义积分 157
6.1 函数序列或级数中的基本问题 157
6.2 一致收敛的函数序列与级数的性质 162
6.3 含参变量的广义积分中的基本问题 172
6.4 二元函数一致收敛的概念 178
6.5 一致收敛的含参变量的广义积分的性质 183
6.6 参变量广义积分的应用 189
第七讲 关于菲波那契(Fibonacci)序列及其应用 204
7.1 优选法及其数学理论依据 204
7.2 关于菲波那契序列 212
第八讲 关于积分第一中值定理及其应用 216
8.1 关于积分第一中值定理的理论 216
10.5 附录：关于代数数的概念 217
8.2 关于积分第一中值定理的运用 220
第九讲 凸函数及其应用 229
9.1 凸函数的定义及基本性质 229
9.2 凸函数的应用 246
9.3 三角凸函数 255
第十讲 e与π的无理性和超越性 263
10.1 e和π的无理性 263
10.2 e的超越性 264
10.3 π的超越性 267
10.4 概述 270
11.1 引言 277
第十一讲 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)逼近定理及其应用 277
11.2 魏尔斯特拉斯第一定理的勒贝格(Lebesgue)证明 281
11.3 魏尔斯特拉斯第二定理的费耶尔(Fejer)证明 286
11.4 魏尔斯特拉斯定理的推广--四通(Stone)定理 295
11.5 梅尔干良(Mepгeлян)逼近定理及其应用 305
第十二讲 微积分学在天体力学上的应用 308
12.1 引言 308
12.2 一些准备知识 310
12.3 由开普勒三大定律推导万有引力定律 313
12.4 从万有引力定律来推导开普勒三大定律 316
12.5 计算三个宇宙速度 322
第十三讲 关于哥德巴赫猜想 330
13.1 概述 330
13.2 分析方法的作用 332
13.3 关于弱型哥德巴赫问题的研究 342
13.4 关于因子哥德巴赫问题的研究 343
13.5 正确认识“猜想”的研究 345
第十四讲 黎曼(Riemann)积分与勒贝格积分的本质差别 347