目录 1
前言 1
引言 1
第一章 对反问题的描述 5
1.1 反问题公式的建立 5
1.2 线性反问题 7
1.3 建立反问题公式的例子 7
1.4 反问题的解 13
第二章 有关概率论的某些评介 16
2.1 噪音和随机变量 16
2.2 相关数据 19
2.3 随机变量的函数 22
2.4 高斯分布 23
2.5 高斯统计假设的检验 26
2.6 置信区间 27
第三章 线性、高斯反问题的解，观点之1：长度法 29
3.1 估计值的长度 29
3.2 长度的度量 30
3.3 直线拟合的最小二乘法 32
3.4 线性反问题的最小二乘解 33
3.5 几个例子 35
3.6 最小二乘解的存在性 37
3.7 纯亚定问题 40
3.8 混定问题 42
3.9 长度的加权度量——先验信息的一种类型 44
3.10 其它类型的先验信息 46
3.12 最小二乘解的方差和预测误差 49
3.11 模型参数估计值的方差 49
4.1 解与算子 52
4.2 数据分辨矩阵 52
第四章 线性、高斯反问题的解，观点之2：广义逆法 52
4.3 模型分辨矩阵 54
4.4 单位协方差矩阵 56
4.5 某些广义逆的分辨率和协方差 57
4.6 分辨率和协方差的优度评价 57
4.7 具有良好分辨率和协方差的广义逆 58
4.8 旁瓣与Backus-Gilbert展布函数 61
4.9 亚定问题的Backus-Gilbert广义逆 63
4.10 协方差大小的计入 65
4.11 分辨率和协方差之间的折衷 66
5.1 一组测量值的均值 70
第五章 线性、高斯反问题的解，观点之3：最大似然法 70
5.2 线性反问题的最大似然解 73
5.3 先验分布 74
5.4 精确理论情况下的最大似然问题 78
5.5 不精确理论 79
5.6 应用线性理论的简单高斯情形 82
5.7 一般的线性、高斯情形 82
5.8 三种观点的等价性 86
5.9 误差改进显著性的F检验 86
5.10 5.7节中公式的推导 88
第六章 非唯一性和局部化平均值 90
6.1 零向量和非唯一性 90
6.2 一个简单反问题的零向量 91
6.3 模型参数的局部化平均值 92
6.5 平均值与估计值 93
6.4 局部化平均值与分辨矩阵的关系 93
6.6 非唯一平均向量和先验信息 94
第七章 向量空间的应用 97
7.1 模型和数据空间 97
7.2 Householder变换 98
7.3 Householder变换的设计 102
7.4 非定长变换 104
7.5 混定问题的解 105
7.6 奇异值分解及本征广义逆 106
7.7 奇异值分解的推导 111
7.8 线性等式和不等式约束的简化 112
7.9 不等式约束 113
8.1 L1范数和指数分布 118
第八章 线性反问题和非高斯分布 118
8.2 指数分布之均值的最大似然估计 119
8.3 一般线性问题 121
8.4 求解L1范数问题 122
8.5 L∞范数 125
第九章 非线性反问题 127
9.1 参数化 127
9.2 线性参数化方法 129
9.3 高斯分布数据的非线性反问题 131
9.4 几种特殊情况 136
9.5 非线性L2问题的收敛性和非唯一性 137
9.6 非高斯分布 140
9.7 最大熵法 143
10.1 因子分析问题 145
第十章 因子分析 145
10.2 归一化与物理上的约束 148
10.3 Q型和R型因子分析 150
10.4 经验正交函数分析 151
第十一章 反演问题实例 154
11.1 图象增强问题 154
11.2 数字滤波器设计 158
11.3 交叉误差的调整 161
11.4 声学层析成像问题 165
11.5 火成岩侵入体内的温度分布 169
11.6 L1，L2，L∞范数下的直线拟合 174
11.7 确定一组单位向量的均值 177
11.8 高斯曲线拟合 181
11.9 地震定位 184
11.10 振动问题 187
第十二章 数值算法 191
12.1 常定问题的求解 191
12.2 方阵求逆 198
12.3 亚定问题和超定问题的求解 200
12.4 带不等式约束的L2问题 210
12.5 确定实对称矩阵的特征值和特征向量 222
12.6 矩阵的奇异值分解 225
12.7 单纯形法和线性规划问题 227
附录A：拉格朗日乘子约束 232
B：复变量的L2反演理论 234
参考文献 236
索引 238