第一篇 特殊函数 2
第一章 线性常微分方程级数解法 2
1.1 常点邻域的级数解法 3
1.2 正则奇点邻域的级数解法 8
习题1 16
第二章 贝塞尔函数 16
2.1 贝塞尔函数 17
一、第二类贝塞尔函数 17
二、整数阶贝塞尔函数 19
三、第三类贝塞尔函数 20
四、半奇数阶贝塞尔函数 21
2.2 递推公式——不同阶贝塞尔函数的关系 22
2.3 贝塞尔函数的母函数(生成函数) 26
2.4 贝塞尔函数的零点 28
2.5 函数的付立叶-贝塞尔级数 32
一、第一类贝塞尔函数的正交性 33
二、第一类贝塞尔函数的模 35
三、付立叶-贝塞尔级数 37
2.6 变型的贝塞尔函数 41
一、虚宗量的贝塞尔函数 41
二、汤姆森函数 43
习题2 44
3.1 勒让德多项式的定义 48
第三章 勒让德多项式 48
3.2 勒让德多项式的母函数 50
一、勒让德多项式的母函数 50
二、勒让德多项式的性质 51
3.3 勒让德多项式的正交性与付立叶-勒让德级数 52
一、勒让德多项式的正交性 52
二、勒让德多项式的模 54
三、付立叶-勒让德级数 54
3.4 递推公式和微分方程 56
3.5 缔合勒让德多项式 58
一、缔合勒让德多项式 59
二、缔合勒让德多项式的母函数 61
三、缔合勒让德多项式的正交性 62
习题3 63
第四章 其它正交多项式 64
4.1 正交多项式的一般性质 65
一、概述 65
二、正交化 66
三、正交多项式的存在性与唯一性 68
四、函数按正交多项式展为付立叶级数 72
4.2 契比雪夫多项式 74
一、契比雪夫多项式的定义 74
四、契比雪夫多项式所满足的微分方程 76
二、契比雪夫多项式的母函数 76
三、契比雪夫多项式的递推公式 76
五、付立叶-契比雪夫多项式级数 77
4.3 厄密特多项式 79
一、厄密特多项式的定义 79
二、厄密特多项式的母函数 80
三、厄密特多项式的递推公式 80
四、厄密特多项式所满足的微分方程 81
五、付立叶-厄密特多项式级数 82
一、拉盖尔多项式的定义 84
二、拉盖尔多项式的母函数 84
4.4 拉盖尔多项式 84
三、拉盖尔多项式所满足的微分方程 86
四、付立叶-拉盖尔多项式级数 86
五、广义拉盖尔多项式 87
4.5 经典正交多项式小结 90
习题4 92
第五章 哈尔函数与沃尔什函数简介 94
5.1 哈尔函数系 95
一、哈尔函数的定义 95
二、哈尔函数系的正交性 98
三、付立叶-哈尔级数 99
一、沃尔什函数的定义 100
5.2 沃尔什函数 100
二、沃尔什函数的定序方法 103
三、沃尔什函数的正交性和付立叶-沃尔什级数 106
第二篇 数学物理方程 112
第一章 定解问题 112
1.1 偏微分方程的一般概念 112
习题1.1 116
1.2 二阶线性偏微分方程的分类 117
一、两个自变量函数的二阶线性方程 117
二、多个自变量函数的二阶线性方程 124
习题1.2 129
三、二阶常系数线性方程 129
1.3 数学模型——定解问题 130
一、三类典型方程的建立 130
二、定解条件 139
习题1.3 144
1.4 定解问题的提法及适定性 145
一、定解问题的提法 146
二、定解问题的适定性 146
第二章 分离变量法 150
2.1 分离变量 151
一、齐次方程的定解问题 153
2.2 直角坐标系下的分离变量法 153
二、非齐次方程的定解问题 163
三、非齐次边界条件的齐次化 167
四、混合问题解的适定性 170
习题2.2 176
2.3 极、柱坐标系下的分离变量法 179
一、圆域上的定解问题 180
二、圆柱内的定解问题 187
习题2.3 195
2.4 球坐标系下的分离变量法 197
习题2.4 203
一、斯图姆-刘维尔问题的提法 204
2.5 斯图姆-刘维尔问题 204
二.斯图姆-刘维尔问题的理论 207
三、多维斯图姆-刘维尔问题 211
第三章 行波法 215
3.1 初值问题的提法 215
3.2 一维波动方程的初值问题 216
一、达朗贝尔公式 216
二、解的物理意义 219
三、依赖区域，影响区域和决定区域 225
四、半无界问题 227
习题3.2 232
3.3 高维波动方程的初值问题 233
一、球对称三维波动方程的解 234
二、三维波动方程的泊松公式 234
三、二维波动方程的泊松公式 239
四、解的物理意义 241
五、依赖区域、影响区域和决定区域 242
习题3.3 245
3.4 拉普拉斯双曲型方程的特征初值和柯西问题 246
一、特征初值问题的特征线法 246
二、柯西问题的黎曼方法 250
习题3.4 255
第四章 点源法 257
4.1 δ-函数 257
习题4.1 262
4.2 广义函数的概念 263
一、泛函的概念 263
二、广义函数 264
三、δ函数 265
四、广义函数的性质 267
4.3 基本解 267
一、波动方程初值问题的基本解 268
二、热传导方程的基本解 270
三、拉普拉斯方程的基本解 271
习题4.3 273
4.4 冲量定理法及非齐次方程的格林函数法 273
一、冲量定理法 274
二、非齐次方程的格林函数法 279
习题4.4 283
4.5 拉普拉斯方程的格林函数法 285
一、格林公式 285
二、调和函数的性质 288
三、格林函数 289
四、拉普拉斯方程的两个狄里赫莱问题 292
习题4.6 296
第五章 积分变换法 297
5.1 付立叶变换 297
一、付氏变换的定义 298
二、付氏变换的性质 300
习题5.1 303
5.2 拉普拉斯变换 304
一、拉氏变换的定义 304
二、拉氏变换的性质 307
习题5.2 315
5.3 积分变换在解定解问题中的应用 316
一、付氏变换解定解问题 317
二、拉氏变换解定解问题 326
习题5.3 333
第六章 一阶偏微分方程和方程组 334
6.1 一阶线性和拟线性偏微分方程 334
一、常微分方程组的首次积分 334
二、特征线及一阶偏微分方程的求解 338
三、柯西问题 341
四、n个自变量的情形 346
习题6.1 347
6.2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 349
一、特征理论 349
二、线性方程组的特征理论 351
三、两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类 353
四、狭义双曲型方程化为对角型 354
五、两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 357
习题6.2 361
附录Ⅰ 第一、二类贝塞尔函数表 362
附录Ⅱ 贝塞尔函数零点表 363
附录Ⅲ 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符 363
附录Ⅳ 付立叶变换简表 367
附录Ⅴ 拉普拉斯变换简表 368
附录Ⅵ 人名对照表 370
习题参考答案 371