第一章 矢量函数的微分与积分 1
1—1 一元矢量函数的微分与积分 1
一、矢量函数 1
二、一元矢量函数的微商 2
三、一元矢量函数的微分 5
四、一元矢量函数的积分 6
1—2 多元矢量函数的微分与积分 8
一、多元矢量函数的偏微商 8
二、多元矢量函数的全微分 10
三、多元矢量函数的积分 10
第二章 标量场与矢量场 14
2—1 标量场的梯度 14
一、方向导数 14
二、梯度的概念 15
三、梯度的基本运算公式 17
四、柱坐标系和球坐标系中的梯度表示式 18
2—2 矢量场的散度 20
一、通量 20
二、散度的概念 21
三、散度的基本运算公式 23
四、柱坐标系和球坐标系中的散度表示式 23
2—3 矢量场的旋度 25
一、环量及环量强度 25
二、旋度的概念 27
三、旋度的基本运算公式 28
四、柱坐标系和球坐标系中的旋度表示式 29
2—4 拉普拉斯运算和格林公式 32
一、标量场的拉普拉斯 32
二、格林公式 32
三、矢量场的拉普拉斯 33
2—5 无旋场与无源场 35
一、无旋场 35
二、无旋场的势 35
三、无源场 37
四、无源场的矢势 38
2—6 从散度和旋度求解矢量场 40
一、矢量场被它的散度、旋度和边界条件唯一确定 40
二、已知无旋场的散度求解场 40
三、已知无源场的旋度求解场 41
四、已知矢量场的散度和旋度求解场 42
第三章 二阶张量 44
3—1 张量的概念 44
一、标量和矢量的变换 44
二、二阶张量的引入 47
三、二阶张量的变换 49
四、二阶张量表示法对称张量与张量共轭 51
3—2 张量的代数运算 54
一、张量相加减 54
二、标量与张量相乘 54
三、矢量对张量点乘 56
四、张量对矢量点乘 56
五、张量与张量点乘 57
3—3 矢量场的梯度与张量场的散度 59
一、张量场 59
二、矢量场的梯度 60
三、张量场的散度 61
第四章 解析函数 65
4—1 复变函数的微商科希-曼条件 65
一、复变函数 65
二、多值函数 68
三、复变函数的微商 70
四、解析函数与科希-里曼条件 71
五、平面有势场 73
4—2 复变函数的积分 科希定理与科希公式 76
一、复变函数的积分 76
二、科希定理 76
三、科希公式 79
4—3 泰勒展开与罗朗展开 82
一、复变幂级数 82
二、泰勒展开 85
三、罗朗展开 87
四、奇点分类 90
4—4 留数定理 91
一、留数和留数定理 91
二、计算在极点的留数的方法 92
三、应用留数定理计算实变函数定积分 93
第五章 数学物理方程及其定解条件 99
5—1 数学物理方程的导出 99
一、均匀弦的微小横振动 100
二、气体的三维声波 101
三、输运方程 103
四、泊松方程与拉普拉斯方程 104
5—2 定解条件 105
5—3 定解问题的适定性 110
第六章 直角坐标系里的分离变数法 112
6—1 用傅里叶展开分离变数 112
6—2 直接分离变数 118
6—3 非齐次方程与非齐次边界条件的处理 125
第七章 球坐标系里的分离变数法球函数 133
7—1 勒让德方程的引出 133
7—2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题 137
7—3 勒让德方程的解 142
7—4 勒让德多项式 146
一、勒让德多项式的微商表示式 146
二、勒让德多项式的母函数 147
三、勒让德多项式的递推算公式 149
四、傅里叶-勒让德展开 150
7—5 缔合勒让德函数与一般球函数 155
一、缔合勒让德方程的解 155
二、傅里叶-缔合勒让德展开 156
三、一般球函数 158
第八章 柱坐标系里的分离变数法 柱函数 162
8—1 贝塞耳方程的引出 162
8—2 贝塞耳方程的解 165
一、非整数阶贝塞耳方程的解 165
二、整数阶贝塞耳方程的解 168
三、虚宗量贝塞耳方程的解 170
8—3 贝塞耳函数 172
一、Jm（x）的递推公式 173
二、整数阶贝塞耳函数的母函数 174
8—4贝塞耳方程的本征值问题 175
8—5球贝塞耳方程 184
第九章 点源法 188
9—1δ函数 188
9—2冲量定理法 192
9—3波动方程与输运方程的格林函数法 198
9—4泊松方程的格林函数法 202
一、泊松方程的格林函数 202
二、格林函数的对易性 204
三、泊松方程结合齐次边界条件的积分公式 205
四、泊松方程结合非齐次边界条件的积分公式 206
第十章 无界空间定解问题 213
10-1齐次波动方程的行波法 213
一、一维波动方程达朗伯公式 213
二、三维波动方程泊松公式 216
三、二维波 220
10—2输运方程的傅里叶变换法 221
一、傅里叶积分与傅里叶变换 222
二、多重傅里叶积分与多维傅里叶变换 226
三、傅里叶变换法解输运问题举例 228
10-3非齐次方程的点源法 231
一、无界空间的泊松方程 231
二、无界空间的非齐次输运方程 231
三、无界空间的非齐次波动方程推迟势 232
第十一章 变分法初步 236
一、泛函 236
二、泛函的极值与泛函的变分 237
三、欧勒方程 239
四、泛函的条件极值问题 242
五、瑞利-里兹方法 243
附录 254