序言 1
绪论 数学三次危机与数学基础 1
1 数学的第一次危机 1
2 非欧几何的诞生 4
3 数学的第二次危机 8
4 数学的第三次危机 12
5 数学基础的探讨 17
第一章 逻辑演算 20
1 命题演算 20
1.1 命题联结词、真值表与指派 20
1.2 命题演算的公理系统 33
1.3 命题演算的系统特征 44
2 狭义谓词演算(上) 47
2.1 谓词与函词 47
2.2 量词与摹状词(附递归词) 49
2.3 代入与替换 55
3.1 狭义谓词演算的公理系统 61
3 狭义谓词演算(下) 61
3.2 狭义谓词演算的可证公式 66
3.3 赋值、解释与指派 76
3.4 狭义谓词演算的系统特性 81
第二章 自然数论(算术) 89
1 自然数的皮亚诺公理系统 89
2 递归定义问题 106
3 算术的另一公理系统 109
4 递归函数 115
5 递归算术 122
第三章 数系的构造 135
1 正负整数 135
2 分数(有理数) 141
3 实数 146
4 复数 166
第四章 几何基础 171
1 《几何原本》简介 171
2 希尔伯特公理系统介绍 178
3 质点几何学简介 189
4 非欧几何 224
第五章 集合论简介 236
1 基本概念与公理 237
1.1 公理集合论公理系统 237
1.2 空集、对偶集与幺元集 239
2 集合代数及进一步性质 241
2.1 集合代数 241
2.2 ∩x 与 ∪x 243
2.3 幂集 245
2.4 卡氏积 246
3 对应、关系与函数 247
3.1 一般性质 247
3.2 多一对应及函数 250
3.3 关系的一些基本特性 251
3.4 次序关系 253
3.5 等价关系与分类 255
4 等数与基数算术 256
5 有穷集与无穷集 261
6 自然数 263
7 实数的构造 270
8 超穷基数与超穷序数 275
8.1 可数集与？？ 275
8.2 连续统与 c 277
8.3 超穷序数 278
第六章 抽象公理系统 280
1 二元运算，同构与同态 281
2 盒与群 286
3 准环及其加强 292
4 准格及其加强 296
5 模(矢量空间)与代数 301
6 用各种公理系统来刻画自然数集等系统 303
附录 形式系统的不完备性 311
1 哥德尔不完备性定理 311
2 元数学的算术化 320
参考文献 325
索引 328