第一章 集合和映射 1
1.1 集合 1
1.2 关系 4
1.3 映射 8
1.4 集合的势 12
1.5 选取公理 14
第二章 代数结构 18
2.1 代数系的一般概念 18
2.2 半群与群 22
1.半群与群的概念 23
2.陪集、正规子群及共轭子群 27
3.群的同态与同构 36
4.群的直积 39
5.群在计数问题上的应用 40
2.3 环与域 51
1.环与域的概念 51
2.环的同态与同构 57
3.扩域 60
4.应用举例 71
(1)拉丁方阵 71
(2)Hadamard矩阵 76
2.4 有限自动机及其应用 83
1.有限自动机 83
2.移位寄存器 94
3.形式语言 101
2.5 代数编码 109
1.编码理论的基本概念 109
2.线性码 113
3.群码与陪集译码法 116
4.循环码 119
第三章 拓扑结构 131
3.1 拓扑与拓扑空间 131
1.拓扑与拓扑空间的定义 131
2.拓扑基与可数性公理 136
3.连续映射与同胚 141
4.乘积空间和商空间 147
3.2 可数性、分离性及可度量化 158
1.可数性 158
2.分离性 162
3.函数分离性 167
4.度量化定理 172
3.3 紧性 177
1.紧空间及其性质 177
2.序列紧性与可数紧性 183
3.度量空间中的紧性 187
4.局部紧与紧化 191
3.4 连通性 195
1.连通空间 195
2.道路连通与道路连通分支 200
3.同伦与基本群 202
3.5 完备度量空间与函数空间 211
1.完备度量空间 211
2.函数空间 216
第四章 测度结构 227
4.1 可测空间与测度空间 227
1.σ代数与可测空间 227
2.测度与测度空间 229
3.测度的延拓与完备化 235
1.可测函数的定义及其基本性质 253
4.2 可测函数与可测映射 253
2.可测函数序列的收敛性 258
3.可测映射 265
4.3 积分理论 269
1.测度空间上可测函数的积分及其性质 269
2.积分的极限定理 276
3.Lebesgue-Stieltjes积分 281
4.Lp空间 284
4.4 广义测度 294
1.广义测度的Hahn分解和Jordan分解 294
2.Radon-Nikodym定理及其应用 300
3.Lebesgue分解定理 307
1.基本概念与性质 316
4.5 乘积测度和乘积空间上的积分 316
2.Fubini定理 322
3.无穷多个测度空间的乘积 327
第五章 线性算子和非线性算子引论 333
5.1 线性算子 334
1.有界线性算子和连续线性算子 335
2.Hilbert伴随算子 347
3.Hilbert空间中的无界线性算子 350
5.2 泛函分析的基本定理 358
1.泛函延拓定理 358
2.纲定理和一致有界性定理 367
3.弱收敛和弱？收敛 370
4.逆算子定理和闭图像定理 377
5.3 线性算子的谱理论 385
1.基本概念 387
2.有界线性算子的谱性质 394
3.有界自伴线性算子的谱性质 399
4.自伴线性算子的谱分析 399
5.4 非线性算子 413
1.非线性算子的有界性和连续性 413
2.Banach空间中的微分和积分 420
3.梯度算子 431
4.压缩算子与非扩展算子 435
5.全连续算子 443
参考文献 454