第1章 典型方程与定解条件 1
1.1基本概念 1
1.2典型方程的导出 2
1.3定解条件 6
1.4定解问题的提法 8
1.5两个自变量情形下线性方程的分类 9
1.5.1变系数的线性方程 9
1.5.2常系数线性方程 13
1.5.3多个自变量的方程的分类 15
习题1 16
第2章 分离变量法 18
2.1有界弦的自由振动 18
2.2有限长杆上的热传导 24
2.2.1热传导方程的第二边值问题 24
2.2.2有限长杆上的热传导 25
2.3矩形薄板的热传导问题 28
2.4圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 29
2.5非齐次方程的解法 32
2.5.1齐次化原理 32
2.5.2特征函数法 35
2.6非齐次边界条件的处理 39
2.7二阶常微分方程特征值问题 46
习题2 48
第3章 行波法 52
3.1一维波动方程的达朗贝尔公式 52
3.2三维波动方程的泊松公式 56
3.2.1三维波动方程的球对称解 56
3.2.2三维波动方程的泊松公式 57
3.2.3泊松公式的物理意义 59
3.2.4降维法 60
习题3 61
第4章 积分变换法 63
4.1傅里叶积分与傅里叶变换 63
4.2傅里叶变换的基本性质 64
4.3傅里叶变换应用举例 66
4.4拉普拉斯变换 68
4.5拉普拉斯变换的基本性质 70
4.6拉普拉斯变换应用举例 73
习题4 82
第5章 格林函数法 84
5.1拉普拉斯方程边值问题 84
5.2格林公式 85
5.3格林函数 89
5.4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 91
5.4.1半空间的格林函数 91
5.4.2球域上的格林函数 92
习题5 94
第6章 贝塞尔函数 96
6.1贝塞尔方程的引出 96
6.2贝塞尔方程的求解 97
6.2.1非整数阶贝塞尔方程的解 98
6.2.2整数阶贝塞尔方程的解 100
6.3贝塞尔函数的性质 101
6.3.1贝塞尔函数的递推公式 101
6.3.2贝塞尔函数的零点 103
6.3.3贝塞尔函数的正交性 103
6.3.4函数展开成贝塞尔函数的级数 104
6.4贝塞尔函数应用举例 105
习题6 108
第7章 勒让德多项式 111
7.1勒让德方程的引出 111
7.2勒让德方程的求解 112
7.3勒让德多项式的性质 114
7.3.1勒让德多项式的递推公式 117
7.3.2勒让德多项式的奇偶性 118
7.3.3勒让德多项式的正交性 118
7.3.4函数展开成勒让德多项式的级数 120
7.4勒让德多项式应用举例 120
习题7 124
第8章 有限差分法 126
8.1导数的差商近似 126
8.2拉普拉斯方程的有限差分格式 127
8.3热传导方程的有限差分格式 131
8.4波动方程的有限差分格式 134
习题8 135
第9章 有限元法 136
9.1迦辽金方程 136
9.2刚度矩阵 138
9.3源汇项及边界条件处理 139
习题9 140
第10章 极值原理 142
10.1热传导方程解的极值原理 142
10.1.1极值原理 142
10.1.2混合问题解的唯一性与稳定性 143
10.1.3柯西问题解的唯一性与稳定性 143
10.2拉普拉斯方程解的极值原理 144
10.2.1极值原理 144
10.2.2第一边值问题解的唯一性与稳定性 145
10.3强极值原理、第二边值问题解的唯一性 146
10.3.1强极值原理 146
10.3.2第二边值问题解的唯一性 148
习题10 149
附录A Γ函数的基本知识 150
附录B傅里叶变换与拉普拉斯变换简表 152
习题答案 154
参考书目 163