数学新论 1
绪论 2
1概论 2
2数学发展简史 4
第一章 数系与第一次数学危机 10
1数系 10
1.1自然数与整数 10
1.2有理数与无理数 10
1.3实数 11
2毕达哥拉斯学派关于数的认识 11
3第一次数学危机 13
4第一次数学危机的消除 14
5反证法 14
习题 15
第二章 连分数及其在天文学上的应用 16
1辗转相除法 16
2连分数 17
2.1引言 17
2.2简单连分数和它的渐近分数 18
3连分数在天文学上的应用 20
3.1为什么四年一闰，而百年又少一闰？ 20
3.2农历的月大月小闰年闰月 22
3.3二十四节气 22
3.4闰月放在哪？ 23
3.5日月食 24
3.6干支纪年 25
习题 26
第三章 数学命题和证明方法 27
1概念，概念的外延和内涵 27
2等价关系与分类（划分） 28
3定义 29
4公理 29
5定理 30
5.1定理的结构 30
5.2定理的形式 31
5.3定理的互逆性 31
习题 32
6充分条件和必要条件 32
6.1充分的特征 32
6.2必要的特征 33
6.3必要而且充分的特征 33
习题 34
7演绎法 34
8分析与综合 35
9归纳法 36
10数学归纳法 37
习题 38
第四章 欧氏几何与第五公设 39
1几何学的诞生 39
2几何学的研究对象和研究方法 40
3欧几里得的《原本》 41
4第五公设 42
5非欧几里得几何的诞生 45
6罗巴切夫斯基的解答 46
7非欧几何的相容性 46
8黎曼的非欧几何 47
9非欧几何诞生的意义 48
进入高等数学 49
第五章 线性代数初步 50
1二元一次联立方程组与二阶行列式 50
2三元一次联立方程组与三阶行列式 52
习题 56
3行列式的性质 56
3.1矩阵、行列式、余子式 56
3.2按代数余子式展开行列式 57
3.3行列式的性质 59
习题 60
4高斯消元法 61
4.1消元法 61
4.2线性方程组的增广矩阵 62
4.3高斯消元法 64
4.4高斯-若当消元法 67
习题 68
5矩阵代数 69
5.1矩阵 69
5.2矩阵的加法与数乘矩阵 69
5.3矩阵的乘法 71
5.4逆矩阵 73
5.5线性方程组 76
习题 77
第六章 空间解析几何 79
1空间直角坐标系 80
1.1空间直角坐标系 80
1.2点的坐标 81
习题 82
2向量代数 82
2.1标量与向量 82
2.2向量的加减法 83
2.3开普勒三定律 83
2.4 开普勒第二定律的牛顿证明 84
2.5向量的数乘运算 85
2.6向量在轴上的投影 86
2.7向量的坐标 86
2.8向量的模与方向余弦 88
2.9向量的数量积 89
2.10向量的叉乘 91
2.11混合积 93
习题 93
3 平面 94
3.1点法式方程 94
3.2一般式方程 95
3.3截距式方程 95
3.4两平面间的关系 96
习题 96
4空间中的直线 97
4.1直线的参数方程 97
4.2直线的标准方程 98
4.3直线的一般方程 98
4.4三元一次联立方程组的几何解释 99
习题 100
5二次曲面 100
5.1图形与方程 100
5.2球面 101
5.3椭球面 101
5.4平行截口法 102
5.5椭圆抛物面 102
5.6单叶双曲面 103
5.7双叶双曲面 104
5.8双曲抛物面 105
5.9二次柱面 106
5.10二次锥面 107
5.11二次曲面小结 108
习题 109
6应用一瞥 109
6.1望远镜设计 109
6.2空中定位 110
6.3机器人与几何学 110
6.4青光眼的诊断 111
微积分初步 112
第七章 函数与极限 113
1预备知识 113
1.1区间 113
1.2绝对值 113
1.3 邻域 114
2函数 115
2.1变量与常量 115
2.2函数概念 115
2.3单调函数 116
2.4函数的奇偶性 117
2.5反函数 118
2.6常数函数与线性函数 119
2.7基本初等函数的图形 120
2.8复合函数与初等函数 124
3极限概念 125
3.1抛物线下的面积 125
3.2序列的极限 126
3.3切线问题 127
3.4函数的极限 128
3.5单边极限 129
3.6极限的四则运算 131
3.7 极限存在准则及两个重要极限 132
习题 135
4函数的连续性 135
4.1连续性的概念 135
4.2在闭区间上连续函数的性质 136
5再论函数与极限 137
5.1函数 137
5.2极限 138
第八章 导数 139
1引言 139
2预备知识 141
2.1△符号 141
2.2平均变化率 142
习题 142
3导数概念 143
3.1瞬时速度 143
3.2再论切线问题 144
3.3导数定义 144
3.4可导与连续 146
4导数公式 146
4.1常数函数的导数 146
4.2函数f（x）＝x的导数 147
4.3幂函数的导数 147
4.4导数的四则运算 148
4.5链锁法则 150
4.6高阶导数 152
习题 153
5三角函数的导数公式 153
5.1正弦函数 153
5.2余弦函数 153
5.3正切函数 154
5.4余切函数 154
习题 154
6指数函数与对数函数的导数公式 154
6.1对数函数 154
6.2指数函数 155
6.3幂函数 155
7反三角函数的导数公式 156
7.1反正弦函数 156
7.2反余弦函数 156
7.3反正切函数 156
7.4反余切函数 156
习题 157
8基本公式表 157
8.1基本初等函数的求导公式 157
8.2导数运算法则 157
9相对变化率 157
习题 159
10微商中值定理 159
10.1函数的局部极值，费马定理 159
10.2中值定理 160
11利用导数研究函数 162
11.1函数的单调性 162
11.2极值点的判别 163
11.3曲线的凹凸 164
11.4曲线的渐近线 166
11.5函数的图形 166
11.6在经济学中的应用 168
11.7极值的应用 169
习题 171
第九章 微分 172
1微分定义 172
2微分公式 173
3基本初等函数微分表 174
4微分的应用 175
习题 176
5再论导数与微分 177
5.1导数与微分的概念 177
5.2导数与微分小结 177
第十章 不定积分 179
1基本概念 179
2不定积分的简单运算法则 180
3基本初等函数的不定积分表 181
4第一换元积分法 182
习题 184
5第二换元积分法 185
习题 186
6分部积分法 186
习题 188
第十一章 定积分 189
1定积分的定义 189
1.1面积问题 189
1.2路程问题 190
1.3定积分的定义 191
1.4定积分的几何意义 192
2定积分的简单性质 193
3微积分基本定理 196
习题 198
4定积分的换元积分法与分部积分法 198
4.1换元积分法 198
4.2分部积分法 200
习题 200
5定积分的应用 201
5.1如何建立积分式 201
5.2平面图形的面积 202
5.3旋转体的体积 203
5.4平均值 205
习题 206
6无穷限积分 206
7再论微分学与积分学 208
7.1微分学 208
7.2积分学 209
随机性数学 210
第十二章 概率论初步 211
1随机现象 211
1.1必然现象与随机现象 211
1.2随机实验 213
1.3随机事件 213
2事件的关系与运算 214
2.1基本事件与复杂事件 214
2.2事件的集合表示，样本空间 215
2.3事件的相等与包含 215
2.4事件的和、积与差 216
2.5对立事件 217
2.6互不相容事件完备组 217
2.7运算法则 218
习题 219
3概率 219
3.1概率的概念 219
3.2概率的统计定义 219
3.3概率的性质 220
3.4古典概型 221
3.5几何概率 222
3.6概率的数学定义 224
3.7条件概率与乘法公式 225
3.8独立性 227
3.9全概率公式 229
3.10逆概率公式（贝叶斯公式） 230
习题 231
4随机变量及其分布 232
4.1随机变量 232
4.2两点分布 233
4.3二项分布 233
4.4 连续型随机变量 235
4.5正态分布 236
4.6正态分布的分布函数 237
4.7从平均数到数学期望 238
4.8连续型随机变量的数学期望 239
4.9随机变量的方差 240
4.10几种随机变量的方差 241
4.11正态分布的应用 241
习题 243
5两个实例 244
5.1色盲的遗传问题 244
5.2孟德尔遗传定律 246
面向实际 248
第十三章 数学模型 249
1选票分配 249
1.1选举悖论 250
1.2选票分配问题 251
1.3亚拉巴马悖论 252
2 体育训练问题 253
3指数增长与衰减问题 255
3.1一个简单的微分方程 255
3.2人口模型 257
3.3考古学中的应用 258
3.4牛顿冷却定律 260
3.5范·米格伦伪造名画案 261
3.6再论人口模型 265
3.7 新产品销售模型 267
习题 268
第十四章 数学的地位和作用 269
1数学教育 269
1.1关于素质教育 269
1.2数学素养 269
1.3数学是思维的工具 270
1.4数学与美 270
1.5数学提供了有特色的思考方式 271
1.6培养四种本领 271
1.7数学与就业 273
1.8当前科学发展的主要趋势 274
2自然数是万物之母 275
2.1数学的重要性 275
2.2古希腊的数学 275
3数学与自然科学 277
3.1宇宙的和谐 277
3.2物理学 280
3.3生物学 280
4数学与人文科学 281
4.1数学与西方政治 281
4.2人口论 284
4.3统计方法 284
5数学与艺术 285
5.1傅里叶的功绩 285
5.2数学与绘画 286
5.3从艺术中诞生的科学 290
6笛卡儿的方法论及其影响 291
附表 标准正态分布表 294
附录 习题答案与提示 295
参考书目 301