第1章 偏微分方程定解问题 1
1.1 三个典型方程的导出 1
1.1.1 弦的横振动 1
1.1.2 热传导问题 4
1.1.3 静电场 5
1.2 定解问题及其适定性 7
1.2.1 通解和特解 8
1.2.2 定解条件 8
1.2.3 定解问题及其适定性 12
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法 13
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程 13
1.3.2 n个自变量的一阶线性偏微分方程（n≥2） 16
1.3.3 一阶拟线性偏微分方程 20
1.4 波动方程的行波解 26
1.4.1 一维波动方程的通解和初值问题的达朗贝尔（d’Alembert）公式 26
1.4.2 半直线上的问题——延拓法 29
1.4.3 中心对称的球面波 31
1.5 二阶线性偏微分方程的分类和标准式 32
1.5.1 特征方程和特征线 33
1.5.2 方程的分类、化简和标准形 34
1.6 叠加原理和齐次化原理 40
1.6.1 线性叠加原理 40
1.6.2 齐次化原理（冲量原理） 42
习题1 44
第2章 分离变量法 47
2.1 两个典型例子 47
2.1.1 两端固定弦的自由振动 47
2.1.2 圆柱体稳态温度分布 51
2.2 一般格式，固有值问题 55
2.2.1 一般格式 55
2.2.2 固有值问题的施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）定理 57
2.2.3 例题 63
2.3 非齐次问题 69
2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 69
2.3.2 一般的非齐次混合问题 75
2.3.3 非齐次稳定方程的边值问题 77
习题2 80
第3章 特殊函数及其应用 82
3.1. 正交曲线坐标系下的变量分离 82
3.1.1 Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开 82
3.1.2 Helmholtz方程在柱坐标系下的变量分离及Bessel方程的导出 84
3.1.3 Helmholtz方程在球坐标系下的变量分离及Legendre方程的导出 85
3.2 常微分方程的幂级数解 86
3.2.1 二阶线性常微分方程的解析理论 86
3.2.2 Legendre方程的幂级数解及Legendre函数 87
3.2.3 Bessel方程的广义幂级数解及Bessel函数 89
3.3 Legendre函数 93
3.3.1 Legendre多项式的表示和性质 93
3.3.2 Legendre方程的固有值问题及正则奇点情况下的S-L定理 97
3.3.3 轴对称Laplace方程球面边值问题 99
3.3.4 伴随Legendre方程和伴随Legendre函数 104
3.3.5 一般情形下Laplace方程球面边值问题及球函数 107
3.4 Bessel函数 111
3.4.1 Bessel函数的表示和性质 111
3.4.2 Bessel方程的固有值问题 117
3.4.3 圆柱形区域上的混合问题和边值问题，虚变量Bessel函数 119
3.4.4 球Bessel函数及其应用 127
3.4.5 可以化为Bessel方程的方程 130
习题3 132
第4章 积分变换法 135
4.1 Fourier变换法 135
4.1.1 Fourier变换 135
4.1.2 用Fourier变换求解无界区间上的定解问题 137
4.1.3 Fourier正弦、余弦变换和半无界区间上的定解问题 140
4.1.4 高维问题 143
4.2 Laplace变换法 144
4.2.1 Laplace变换 144
4.2.2 用Laplace变换求解发展方程的定解问题 146
4.3 一般积分变换简介 149
4.3.1 分离变量法和积分变换法 150
4.3.2 一般积分变换原理和其他积分变换 151
习题4 159
第5章 基本解方法 161
5.1 δ函数，广义函数简介 161
5.1.1 δ函数和广义函数 161
5.1.2 δ函数和广义函数的性质和运算 164
5.1.3 高维δ函数和广义函数 170
5.2 Lu＝0型方程的基本解 173
5.2.1 基本解和解的积分表达式 173
5.2.2 基本解的求法 175
5.3 边值问题的Green函数法 179
5.3.1 场位方程边值问题的Green函数及解的积分公式 179
5.3.2 Green函数的求法 182
5.3.3 Helmholtz方程边值问题及其Green函数 194
5.4 初值问题的基本解方法 195
5.4.1 ut＝Lu型方程初值问题的基本解 196
5.4.2 utt＝Lu型方程初值问题的基本解 197
5.4.3 热传导方程的初值问题 200
5.4.4 波动方程的初值问题 201
5.4.5 混合问题的Green函数法 208
5.5 广义函数 209
5.5.1 广义函数的概念 209
5.5.2 E（Rn），？（Rn），D（Rn）与E’（Rn），？（Rn），D’（Rn） 211
5.5.3 广义函数和广义函数极限的几个例子 213
5.5.4 广义函数的局部性质及广义函数的支集 215
5.5.5 广义函数的某些简单运算 216
5.5.6 广义函数的导数和对参变数的导数 218
5.5.7 广义函数的FT和F-1T 223
5.5.8 广义函数的卷积 225
习题5 226
第6章 微分方程的变分方法 229
6.1 泛函和泛函极值 229
6.1.1 泛函和泛函极值 229
6.1.2 几个例子 230
6.2 泛函的变分，Euler方程和边界条件 233
6.2.1 变分法基本引理 233
6.2.2 一元函数泛函的变分、Euler方程和边界条件 233
6.2.3 二元函数泛函和多元函数泛函的情况 238
6.2.4 混合积分型泛函的情况 242
6.2.5 两个一元函数（y（x），z（x））的泛函的情况 243
6.2.6 泛函中包含二阶导数的情况 245
6.2.7 两个二元函数泛函的情况 246
6.2.8 Hamilton原理和例子 247
6.2.9 活动区间问题和横截条件 249
6.3 变分问题的直接法及微分方程的变分方法 251
6.3.1 变分问题的直接法 251
6.3.2 微分方程的变分方法 254
6.3.3 微分方程的广义解 256
6.4 泛函的条件极值 256
6.4.1 条件极值 257
6.4.2 等周问题 259
6.4.3 等周问题和自共轭微分方程的固有值问题 261
习题6 265
习题参考答案 267
参考文献 280