第0章 E3中曲线和曲面的局部概论 1
1 E3中的曲线 1
1.1 曲线的表示 1
1.2 曲线的Frenet标架 曲率和挠率 2
1.3 曲线论的基本公式和基本定理 4
2 E3中的曲面 6
2.1 曲面的表示 6
2.2 曲面上的活动标架 第一基本形式 7
2.3 长度、角度和面积元 9
2.4 常见曲面 10
3 曲面上的曲率 14
3.1 曲面的第二基本形式 14
3.2 Weingarten变换 主曲率 15
3.3 Gauss曲率 平均曲率 曲率线 16
3.4 Gauss映射 第三基本形式 19
4 曲面的局部理论 22
4.1 自然标架的基本公式 22
4.2 测地曲率 测地线 23
4.3 法坐标与测地极坐标 24
第一章 活动标架法 28
1 幺正标架 28
1.1 幺正标架 28
1.2 双参数下的外乘法与外微分 30
1.3 幺正标架的运动方程 32
2 外微分形式 34
2.1 外代数 35
2.2 外微分形式 37
2.3 外微分 40
2.4 微分形式的积分 41
3 可积系统 44
3.1 E3的结构方程 44
3.2 Frobenius定理 44
4 曲线和曲面的基本定理 47
4.1 曲线论基本定理 47
4.2 用活动幺正标架研究曲面 48
4.2.1 联络与第二基本形式 48
4.2.2 测地曲率的Liouville公式 49
4.2.3 Gauss美妙定理 50
4.3 曲面论基本定理 52
第二章 曲线的整体微分几何 57
1 平面曲线的某些整体性质 58
1.1 等周不等式 58
1.2 曲线的旋转指标 61
1.2.1 映射的度数 61
1.2.2 旋转指标定理 64
1.3 凸闭曲线 67
2 空间曲线的某些整体性质 70
2.1 球面上的Crofton公式 71
2.2 空间曲线的全曲率 73
2.3 空间曲线的全挠率 77
第三章 E3中曲面的整体微分几何 84
1 曲面的Gauss-Bonnet公式 84
1.1 曲面的整体描述 84
1.2 Gauss-Bonnet公式 88
2 Liebmann定理 92
2.1 球面的刚性 92
2.2 两个引理 93
2.3 Liebmann定理的证明 96
3 凸曲面和积分公式 97
3.1 凸曲面的Hadamard定理 97
3.2 Cohn-Vossen定理 99
3.3 Minkowski积分公式 102
4 Minkowski问题和Christoffel问题的唯一性 103
4.1 概述 103
4.2 基本公式 104
4.3 Minkowski问题的唯一性 105
4.4 Christoffel问题的唯一性 107
5 全平均曲率与Willmore猜想 109
5.1 全平均曲率 109
5.2 球面的一个特征 111
5.3 环面的全平均曲率 113
5.4 Fenchel定理 115
6 常负曲率曲面和Backlund变换 116
6.1 常负曲率曲面和SG方程 116
6.2 伪球线汇和焦曲面 119
6.3 Backlund变换 121
7 Hilbert定理 124
7.1 负曲率曲面上的渐近线网 124
7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网 126
7.3 定理的证明 129
8 Hartman-Nirenberg定理 130
8.1 预备引理 130
8.2 定理的证明 133
9 极小曲面的Bernstein定理 135
9.1 共变微分和Laplacian△ 135
9.2 关于Gauss曲率的计算 139
9.3 极小图的Gauss曲率计算 140
9.4 Bernstein定理的证明 141
10 常平均曲率曲面 143
10.1 面积的变分 143
10.2 保体积的变分 145
10.3 Hopf定理 148
第四章 曲面的内蕴几何学 152
1 曲面上的向量场 152
1.1 曲面上的向量场 152
1.2 曲面上向量场的平行移动 153
1.3 向量场的奇点 156
1.4 抽象曲面上的向量场 159
2 测地线与完备曲面 163
2.1 测地线 163
2.2 指数映射exp 164
2.3 测地线的最短性 164
2.4 完备性 169
3 弧长的第一变分 171
3.1 曲线的变分 171
3.2 第一变分公式 172
3.3 第一变分公式的应用 174
4 弧长的第二变分及Jacobi场 175
4.1 弧长的第二变分公式 175
4.2 Jacobi场 177
4.3 共轭点 179
5 曲率与拓扑 181
5.1 曲率与Jacobi场 181
5.2 Gauss曲率非正的曲面 183
6 闭测地线与基本群 185
6.1 闭测地线与基本群 185
6.2 覆盖空间与闭测地线 186
6.3 紧致闭曲面上的闭测地线 188
第五章 高维欧氏空间的超曲面 190
1 基本公式 190
1.1 超曲面的结构方程和曲率张量 190
1.2 主曲率与平均曲率 193
1.3 空间形式 194
2 积分公式 195
2.1 Minkowski积分公式 195
2.2 紧致凸超曲面 197
3 球面的刚性定理 198
3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面 198
3.2 常数数量曲率的紧致超曲面 199
4 极小超曲面的Bernstein型定理 203
4.1 关于第二基本形式的一个估计 203
4.2 稳定性不等式 204
4.3 Bernstein定理的推广 206
4.4 定理4.4的另一证明 209
5 常平均曲率的完备超曲面 212
5.1 常平均曲率图 212
5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计 214
5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面 219
6 平均曲率流 222
6.1 平均曲率流方程 222
6.2 解的短时间存在性 223
6.3 度量和曲率的发展 224
6.4 紧致凸超曲面的收缩 226
7 平均曲率流的奇性和凸性 229
7.1 平均曲率流的奇性 229
7.2 平均曲率流的凸性 231
7.3 关于σ2的估计 232
7.4 关于初等对称函数 237
7.5 定理7.4的证明 238
8 关于Lawson-Simons猜想 241
8.1 Lawson-Simons猜想 241
8.2 作为欧氏超曲面的紧致流形 242
8.3 定理8.1的证明 245
8.4 一般的黎曼流形 247
本章参考文献 249
第六章 Finsler几何中的某些变分计算 252
1 Finsler流形 252
1.1 Finsler流形 252
1.2 陈联络（Chern connection） 255
1.3 黎曼曲率 257
1.4 体积元 257
1.5 畸变与S曲率 259
1.6 复Finsler流形 260
2 某些几何变分计算 263
2.1 散度公式 263
2.2 Einstein-Hilbert泛函 266
2.3 调和映射 269
2.3.1 第一变分 270
2.3.2 第二变分与Liouville型定理 271
2.4 极小浸入 273
2.5 复Finsler流形间的调和映射 275
2.5.1 第一变分 276
2.5.2 存在性 278
2.5.3 同伦不变性 279
本章参考文献 280
附录A 欧氏空间点集拓扑概要 283
附录B 曲面的拓扑分类 290
本书参考文献 301
索引 302