第1章 什么是有限元法 1
1.1 有限元法的核心思想是什么 1
1.2 数学上如何实现有限元法 2
1.3 软件上如何实现有限元法 4
1.4 有限元法原理包含哪些主要内容 7
1.5 有限元法及相关理论发展简史 9
1.6 本章小结 11
练习题 11
第2章 有限元法的雏形——结构矩阵位移法 12
2.1 什么是矩阵位移法 12
2.2 平面桁架结构矩阵位移法分析实例 13
2.2.1 问题描述 13
2.2.2 结构离散 13
2.2.3 单元分析 14
2.2.4 系统综合 19
2.2.5 引入位移约束条件 25
2.2.6 求解总体刚度方程组 26
2.3 矩阵位移法与有限元法有何异同 26
2.4 本章小结 27
练习题 27
第3章 有限元法列式推导方法之一——直接法 28
3.1 什么是直接法 28
3.2 直接法有限元分析实例之一——平面桁架结构问题 29
3.2.1 桁架结构问题的微分方程 29
3.2.2 杆单元分析 29
3.2.3 桁架结构问题矩阵位移法与有限元法等价吗 31
3.3 直接法有限元分析实例之二——平面应力问题 32
3.3.1 问题描述 32
3.3.2 单元划分 34
3.3.3 单元分析 34
3.3.4 系统综合 44
3.3.5 引入条件 46
3.3.6 求解方程组 49
3.4 直接法有什么优缺点 50
3.5 本章小结 52
练习题 52
第4章 有限元法列式推导方法之二——加权余量法 54
4.1 什么是加权余量法 54
4.1.1 函数逼近问题的加权余量法 54
4.1.2 微分方程定解问题的加权余量法 55
4.1.3 微分方程定解问题的加权余量法与等效积分形式 57
4.2 微分方程定解问题加权余量法的分类 57
4.2.1 不同权函数形成的常见加权余量法 57
4.2.2 不同基函数形成的加权余量法 59
4.3 典型微分方程定解问题的加权余量法 61
4.3.1 二维稳态热传导问题的加权余量法 61
4.3.2 线弹性力学问题的加权余量法 63
4.4 如何基于加权余量法推导有限元法列式 67
4.5 加权余量法有限元分析实例——一维泊松问题 68
4.5.1 问题描述 68
4.5.2 伽辽金加权余量法列式 69
4.5.3 基于伽辽金加权余量法的有限元法求解 69
4.5.4 基于加权余量法有限元分析程序化步骤 75
4.6 加权余量法有限元分析实例——线弹性力学问题 77
4.6.1 一般形式 77
4.6.2 线性三角形单元方程 77
4.7 对加权余量有限元法的进一步讨论 79
4.7.1 与直接法有限元分析的对比 79
4.7.2 对基函数的要求 80
4.7.3 单元方程组系数矩阵的对称性问题 80
4.8 本章小结 82
练习题 82
第5章 有限元法列式推导方法之三——变分原理 83
5.1 什么是变分原理 83
5.2 基于变分原理的近似解法：经典瑞利-里兹法 84
5.2.1 经典瑞利-里兹法基本步骤 84
5.2.2 经典瑞利-里兹法计算实例——一维泊松问题 85
5.3 如何基于变分原理推导有限元法列式 86
5.4 变分原理有限元分析实例一——一维泊松问题 86
5.4.1 基于变分原理的有限元法求解 86
5.4.2 基于变分原理的有限元分析程序化步骤 89
5.5 变分原理有限元分析实例二——弹性力学问题 90
5.5.1 弹性力学问题的瑞利-里兹法 90
5.5.2 基于瑞利-里兹法的弹性问题单元方程 91
5.6 如何建立给定问题的变分原理 92
5.6.1 一维泊松方程定解问题变分原理的建立 92
5.6.2 二维稳态热传导问题变分原理的建立 93
5.6.3 线弹性力学问题变分原理的建立 94
5.7 本章小结 95
练习题 95
第6章 如何构造直边单元上的插值基函数 96
6.1 单元的分类与插值基函数 96
6.1.1 单元的分类 96
6.1.2 单元上的插值基函数 98
6.2 通过解方程组求解插值基函数 98
6.2.1 一维单元的插值函数 98
6.2.2 二维单元的插值函数 100
6.2.3 三维单元的插值函数 101
6.3 根据应有性质构造插值基函数 103
6.3.1 插值函数的应有性质 103
6.3.2 一维单元的划点法 103
6.3.3 三角形单元的划线法 104
6.3.4 矩形单元的划线法 109
6.3.5 四面体单元的划面法 110
6.3.6 六面体单元的划面法 116
6.3.7 直五面体单元的划面法 117
6.4 可变节点单元 117
6.4.1 可变节点单元插值基函数的直接构造 118
6.4.2 可变节点单元插值基函数的分步构造 121
6.5 本章小结 123
练习题 123
第7章 如何应用曲边单元 125
7.1 为什么要采用曲边单元 125
7.2 应用曲边单元存在什么困难 126
7.3 曲边单元问题解决的关键——图形变换 126
7.3.1 什么是图形变换 126
7.3.2 单元图形变换应用实例 134
7.3.3 曲边单元上待求函数的插值基函数 137
7.4 如何推导曲边单元上的单元方程 138
7.4.1 插值基函数对总体坐标的导数 139
7.4.2 体积微元和面积微元的变换 141
7.4.3 母单元上的积分表达式 142
7.5 图形变换的条件 146
7.6 图形变换生成单元的收敛性 151
7.7 本章小结 153
练习题 154
附录A 本书涉及的主要数学知识 155
A.1 微分方程 155
A.1.1 微分方程的定义及分类 155
A.1.2 定解问题及定解条件 155
A.1.3 微分方程的求解 156
A.2 微分算子 157
A.3 矩阵理论 158
A.3.1 矩阵的定义 158
A.3.2 矩阵的运算 159
A.3.3 矩阵的分块 162
A.3.4 矩阵函数的微积分 163
A.4 定积分的换元积分法 164
A.4.1 一元积分的变量代换 164
A.4.2 二重积分的变量代换 164
A.4.3 三重积分的变量代换 165
A.5 分部积分法 166
A.5.1 一元函数分部积分法 166
A.5.2 多元函数分部积分法 166
A.6 格林公式和奥-高公式 167
A.7 函数插值 168
A.7.1 函数插值的定义 168
A.7.2 代数插值 168
A.7.3 拉格朗日插值 169
A.7.4 分段线性插值 169
A.8 变分原理 171
A.8.1 变分原理的定义和意义 171
A.8.2 泛函的定义 171
A.8.3 变分的定义 172
A.8.4 泛函的极值 175
附录B 线弹性力学定解问题 177
B.1 三维线弹性力学定解问题 177
B.2 二维线弹性力学定解问题 180
B.2.1 平面应力问题 180
B.2.2 平面应变问题 181
B.2.3 平面问题的统一矩阵记法 182
B.3 一维线弹性力学定解问题 183
B.3.1 一维应力问题 183
B.3.2 一维应变问题 184
附录C 稳态热传导问题 186
C.1 三维稳态热传导问题 186
C.2 二维稳态热传导问题 186
C.3 一维稳态热传导问题 186
附录D 稳态热传导-对流问题 188
D.1 三维稳态热传导-对流问题 188
D.2 二维稳态热传导-对流问题 188
D.3 一维稳态热传导-对流问题 188
主要参考文献 190