第1章 绪论 1
1.1 课程的内容、意义和特点 1
1.2 误差的基本概念 2
1.2.1 误差的来源 2
1.2.2 误差与有效数字 3
1.3 数值计算中的误差估计 6
1.3.1 一元函数的误差估计 6
1.3.2 二元函数的误差估计 7
1.3.3 四则运算的误差 7
1.4 设计算法的若干原则 8
习题1 12
第2章 非线性方程的数值解法 14
2.1 引言 14
2.1.1 问题的背景 14
2.1.2 一元方程根的隔根区间 14
2.2 二分法 15
2.3 迭代法 17
2.3.1 迭代法的基本思想 17
2.3.2 根的存在性与迭代法的收敛性 19
2.3.3 局部收敛性与收敛速度 21
2.4 迭代收敛的加速方法 24
2.4.1 迭代-加速方法 24
2.4.2 埃特金加速方法 26
2.5 牛顿迭代法 27
2.5.1 牛顿迭代法及其收敛性 27
2.5.2 简化牛顿法 32
2.6 弦截法 32
2.6.1 单点弦截法 32
2.6.2 双点弦截法 34
2.7 MATLAB解法及主要程序 35
2.7.1 MATLAB算法 35
2.7.2 主要程序 37
习题2 40
数值实验题 41
第3章 解线性方程组的直接法 43
3.1 高斯消去法 43
3.1.1 高斯消去法的计算过程 43
3.1.2 高斯消去法的矩阵解释 46
3.1.3 高斯消去法的运算量 48
3.2 主元素消去法 49
3.2.1 列主元素法 50
3.2.2 全主元素法 51
3.2.3 高斯-约当消去法 52
3.3 三角分解法 53
3.3.1 LU分解法 53
3.3.2 对称正定矩阵的平方根法 55
3.3.3 解三对角方程组的追赶法 59
3.4 向量范数与矩阵范数 61
3.4.1 向量范数 62
3.4.2 矩阵范数 63
3.5 方程组的敏感性、条件数 66
3.6 MATLAB解法及主要程序 69
3.6.1 解方程组的MATLAB命令及函数 69
3.6.2 主要程序 71
习题3 75
数值实验题 77
第4章 解线性方程组的迭代法 78
4.1 基本迭代法 78
4.1.1 Jacobi迭代法 79
4.1.2 Gauss-Seidel迭代法 80
4.1.3 超松弛迭代法 81
4.2 迭代法的收敛性 83
4.2.1 单点线性迭代法的基本定理 84
4.2.2 特殊方程组的几个常用判别条件 86
4.3 MATLAB解法及主要程序 90
4.3.1 有关的MATLAB函数 90
4.3.2 主要程序 91
习题4 93
数值实验题 95
第5章 矩阵特征值与特征向量的计算 96
5.1 幂法与反幂法 96
5.1.1 幂法 96
5.1.2 幂法的加速 100
5.1.3 反幂法 102
5.2 Jacobi方法 104
5.3 QR算法 110
5.4 MATLAB解法及主要程序 111
5.4.1 相关命令 111
5.4.2 主要程序 113
习题5 116
数值实验题 117
第6章 插值法 118
6.1 引言 118
6.2 拉格朗日插值 119
6.2.1 插值基函数 120
6.2.2 拉格朗日插值多项式 121
6.2.3 拉格朗日插值多项式的余项 122
6.3 均差与牛顿插值 125
6.3.1 均差及其性质 125
6.3.2 牛顿插值公式 126
6.4 差分与等距节点插值 128
6.4.1 差分的定义及性质 128
6.4.2 等距节点插值多项式及其余项 129
6.5 Hermite插值 132
6.5.1 完全Hermite插值问题 132
6.5.2 不完全Hermite插值问题 135
6.6 分段低次插值 135
6.6.1 高次插值的病态性质 136
6.6.2 分段线性插值 136
6.6.3 分段三次Hermite插值 138
6.7 三次样条插值 139
6.7.1 三次样条插值函数的定义 140
6.7.2 三次样条插值函数的构造 141
6.8 MATLAB解法及主要程序 147
6.8.1 MATLAB命令 147
6.8.2 主要程序 150
习题6 154
数值实验题 156
第7题 最小二乘法与曲线拟合 157
7.1 用最小二乘法求解矛盾方程组 157
7.1.1 矛盾方程组 157
7.1.2 最小二乘法 158
7.2 非线性曲线拟合 161
7.2.1 多项式拟合 161
7.2.2 对数曲线拟合 164
7.2.3 指数曲线拟合 165
7.2.4 其它非线性曲线的拟合 167
7.3 MATLAB解法及主要程序 169
7.3.1 MATLAB算法 169
7.3.2 主要程序 170
习题7 174
数值实验题 175
第8章 数值积分与数值微分 177
8.1 引言 177
8.2 牛顿—柯特斯求积公式 178
8.2.1 插值型求积方法 178
8.2.2 梯形求积公式和辛普森求积公式 178
8.2.3 牛顿—柯特斯公式 179
8.2.4 代数精确度 181
8.2.5 偶数阶求积公式的代数精确度 182
8.2.6 几种低阶求积公式的余项 183
8.2.7 求积公式的收敛性与稳定性 184
8.3 复化求积公式 185
8.3.1 复化梯形求积公式及其余项 185
8.3.2 复化辛普森求积公式及其余项 186
8.3.3 区间逐次分半求积法 188
8.4 龙贝格求积方法 190
8.5 高斯求积公式 193
8.5.1 高斯型求积公式 193
8.5.2 常用的高斯型求积公式 196
8.5.3 高斯求积公式的余项 199
8.5.4 高斯求积公式的数值稳定性和收敛性 200
8.6 数值微分 200
8.6.1 中点方法与误差分析 200
8.6.2 插值型求导公式 202
8.7 MATLAB解法及主要程序 204
8.7.1 MATLAB命令 204
8.7.2 主要程序 206
习题8 210
数值实验题 212
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 214
9.1 引言 214
9.2 欧拉法和改进欧拉法 215
9.2.1 欧拉法 215
9.2.2 局部截断误差和阶 217
9.2.3 隐式欧拉法和两步法 218
9.2.4 梯形法 219
9.2.5 改进的欧拉公式 221
9.3 龙格-库塔法 222
9.3.1 Taylor级数法 222
9.3.2 龙格-库塔法的基本思想 223
9.3.3 二阶显式R-K方法 224
9.3.4 三阶、四阶显式R-K方法 225
9.3.5 变步长R-K方法 228
9.4 单步法的收敛性与稳定性 229
9.4.1 收敛性 229
9.4.2 绝对稳定性 230
9.5 线性多步法 233
9.5.1 用数值积分法构造线性多步公式 233
9.5.2 用泰勒展开法构造线性多步公式 236
9.5.3 几种重要的4阶线性多步格式 238
9.5.4 预测-校正技术和外推技巧 241
9.6 一阶常微分方程组的数值解法 244
9.7 MATLAB解法及主要程序 247
9.7.1 MATLAB算法 247
9.7.2 主要程序 249
习题9 253
数值实验题 254
附录A MATLAB简介 256
A.1 MATLAB的发展历史 256
A.2 MATLAB语言的特点 257
A.3 MATLAB的工作环境 258
A.4 数值计算 262
A.5 图形功能 272
A.6 符号运算 282
A.7 程序设计 290
附录B 部分习题参考答案 300
参考文献 306