第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的四则运算 1
1.1.3 复数的几种常见表示法 2
1.2 复数的乘幂与开方 7
1.2.1 复数的乘幂 7
1.2.2 复数的开方 8
1.3 平面点集 9
1.3.1 区域 9
1.3.2 单连通区域与多连通区域 10
1.4 复变函数 11
1.4.1 复变函数的概念 11
1.4.2 复变函数的几何表示 12
1.4.3 反函数与复合函数 13
1.5 复变函数的极限与连续 13
1.5.1 复变函数的极限 13
1.5.2 复变函数的连续性 16
习题一 17
自测题一 19
习题一参考答案 20
自测题一参考答案 21
第2章 解析函数 22
2.1 导数 22
2.1.1 导数的概念 22
2.1.2 函数可导的充分与必要条件 24
2.1.3 高阶导数 26
2.2 解析函数 27
2.2.1 解析函数的概念 27
2.2.2 函数解析的充分必要条件 27
2.3 调和函数 29
2.3.1 调和函数的概念 29
2.3.2 解析函数的表达式 30
2.4 初等函数 33
2.4.1 指数函数 33
2.4.2 对数函数 34
2.4.3 幂函数 36
2.4.4 三角函数 37
2.4.5 反三角函数 39
习题二 39
自测题二 41
习题二参考答案 42
自测题二参考答案 43
第3章 复变函数的积分 44
3.1 复变函数积分的概念及基本计算方法 44
3.1.1 复积分的定义 44
3.1.2 积分的存在定理及其计算公式 45
3.2 解析函数积分基本定理 49
3.2.1 柯西积分定理 49
3.2.2 不定积分 52
3.3 复合闭路定理 53
3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 55
3.4.1 柯西积分公式 56
3.4.2 解析函数的高阶导数 57
习题三 60
自测题三 62
习题三参考答案 63
自测题三参考答案 64
第4章 级数 65
4.1 复数序列与复数项级数 65
4.1.1 复数序列 65
4.1.2 复数项级数 66
4.2 复变函数项级数 68
4.2.1 复变函数项级数的概念 68
4.2.2 幂级数 69
4.3 泰勒级数 73
4.4 洛朗（Laurent）级数 76
4.4.1 洛朗级数的概念 77
4.4.2 洛朗定理 78
习题四 82
自测题四 83
习题四参考答案 85
自测题四参考答案 85
第5章 留数 87
5.1 解析函数的孤立奇点 87
5.1.1 孤立奇点的定义 87
5.1.2 孤立奇点的分类 88
5.1.3 孤立奇点∞的定义及分类 93
5.2 留数 95
5.2.1 留数的定义 95
5.2.2 留数的计算 96
5.2.3 留数定理及其应用 99
5.2.4 无穷远点的留数 101
5.3 留数在实变量积分计算中的应用 103
5.3.1 ？R(cosθ,sinθ)dθ型积分 103
5.3.2 ？f(x)dx型积分 104
5.3.3 ？f(x)eiaxdx(a>0)型积分 105
习题五 108
自测题五 109
习题五参考答案 110
自测题五参考答案 111
第6章 保形映射 112
6.1 保形映射的概念 112
6.1.1 解析函数导数的几何意义 112
6.1.2 保形映射的定义 113
6.2 分式线性映射的性质及其应用 114
6.2.1 分式线性映射及其分解 114
6.2.2 分式线性映射的性质 116
6.2.3 分式线性映射的应用 119
6.3 几个初等函数的映射 122
6.3.1 幂函数和根式函数所确定的映射 122
6.3.2 指数函数与对数函数所确定的映射 125
习题六 127
自测题六 128
习题六参考答案 129
自测题六参考答案 129
区域变换表 130
第7章 傅里叶变换 135
7.1 傅里叶积分 135
7.1.1 周期函数的傅里叶级数 135
7.1.2 非周期函数的傅里叶积分公式 136
7.2 傅里叶变换 137
7.2.1 傅里叶变换的定义 137
7.2.2 傅里叶变换的性质 140
7.3 δ函数及其傅里叶变换 148
7.3.1 δ函数的定义 148
7.3.2 δ函数的性质 150
7.3.3 δ函数的傅里叶变换 152
习题七 154
自测题七 155
习题七参考答案 156
自测题七参考答案 157
傅里叶变换简表 158
第8章 拉普拉斯变换 163
8.1 拉普拉斯变换的概念 163
8.1.1 问题的提出 163
8.1.2 拉普拉斯变换的定义 164
8.1.3 拉普拉斯变换的存在定理 165
8.1.4 单位脉冲函数δ（t）的拉普拉斯变换 166
8.2 拉普拉斯逆变换 167
8.3 拉普拉斯变换的性质 171
8.4 拉普拉斯变换的应用 180
8.4.1 线性微分方程和积分方程 180
8.4.2 具有特殊扰动函数的微分方程 186
习题八 187
自测题八 189
习题八参考答案 190
自测题八参考答案 192
拉普拉斯变换简表 193
数学实验 197
实验一 复数的表示与基本计算 197
实验二 复变函数的极限、导数与积分 202
实验三 留数的基本运算与闭曲线上的积分 205
实验四 傅里叶变换 206
实验五 拉普拉斯变换 209
参考文献 212