第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数的概念 1
1.1.1 复数 1
1.1.2 复数的运算 1
1.2 复数的几何表示 3
1.3 复球面与平面区域 9
1.3.1 复球面 9
1.3.2 复平面区域 10
1.3.3 曲线与连通域 11
1.4 复变函数的极限与连续性 13
1.4.1 复变函数的概念 13
1.4.2 复变函数的极限 14
1.4.3 复变函数的连续性 16
习题一 17
第2章 解析函数 19
2.1 解析函数的概念 19
2.1.1 复变函数的导数与微分 19
2.1.2 解析函数 21
2.2 函数解析的充要条件 22
2.3 初等函数 25
2.3.1 指数函数 26
2.3.2 对数函数 27
2.3.3 幂函数 29
2.3.4 三角函数与双曲函数 30
2.3.5 反三角函数与反双曲函数 32
习题二 33
第3章 复变函数的积分 35
3.1 复变函数积分的概念 35
3.1.1 复积分的概念 35
3.1.2 复积分的性质 36
3.1.3 复积分的计算 36
3.2 柯西-古萨（Cauchy-Goursat）定理与复合闭路定理 40
3.2.1 柯西-古萨定理 40
3.2.2 复合闭路定理 43
3.3 柯西积分公式与高阶导数公式 46
3.3.1 柯西积分公式 46
3.3.2 高阶导数公式 49
3.4 原函数与不定积分 50
3.4.1 原函数与不定积分 50
3.4.2 牛顿-莱布尼兹公式 51
3.5 解析函数与调和函数的关系 52
3.5.1 调和函数与共轭调和函数 52
3.5.2 共轭调和函数的求法 53
习题三 56
第4章 级数 59
4.1 复数项级数 59
4.1.1 复数列 59
4.1.2 复数项级数 60
4.2 复变函数项级数与幂级数 63
4.2.1 复变函数项级数 63
4.2.2 幂级数 64
4.2.3 收敛半径的求法 66
4.2.4 幂级数的运算和性质 67
4.3 泰勒级数 69
4.3.1 泰勒定理 69
4.3.2 常用函数的泰勒展开式 71
4.4 洛朗级数 74
4.4.1 洛朗级数的概念及收敛域 74
4.4.2 圆环域内解析函数的洛朗展开 76
习题四 84
第5章 留数 86
5.1 孤立奇点 86
5.1.1 孤立奇点的分类 86
5.1.2 函数的零点与极点的关系 88
5.1.3 函数在无穷远点的性态 90
5.2 留数 91
5.2.1 留数的定义及留数定理 91
5.2.2 留数的计算 92
5.2.3 在无穷远点的留数 94
5.3 留数在定积分计算上的应用 96
5.3.1 形如？R(cosθ,sinθ)dθ的积分 96
5.3.2 形如？R(x)dx的积分 97
5.4 对数留数与辐角原理 98
5.4.1 对数留数 99
5.4.2 辐角原理 99
5.4.3 路西（Rouché）定理 100
习题五 101
第6章 共形映射 103
6.1 共形映射的概念 103
6.1.1 解析函数的导数的几何意义 103
6.1.2 共形映射的概念 105
6.2 分式线性映射 106
6.2.1 分式线性映射的定义 106
6.2.2 分式线性函数的分解 106
6.2.3 分式线性映射的性质 108
6.3 几个初等函数所构成的映射 110
6.3.1 幂函数 110
6.3.2 指数函数 111
习题六 113
第7章 傅里叶变换 114
7.1 傅氏积分 114
7.1.1 周期函数的傅里叶展开式 115
7.1.2 非周期函数的傅里叶级数展开 116
7.1.3 傅氏积分定理及傅氏积分公式的三角形式 118
7.2 傅氏变换 120
7.2.1 傅氏变换的概念 120
7.2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 122
7.3 傅氏变换的性质 126
7.3.1 傅氏变换的基本性质 126
7.3.2 卷积 133
7.4 傅氏变换的应用 137
7.4.1 频谱 137
7.4.2 傅氏变换在求解方程中的应用 140
习题七 142
第8章 拉普拉斯变换 144
8.1 拉氏变换的概念 144
8.1.1 问题的提出 144
8.1.2 拉氏变换的存在定理 145
8.1.3 广义拉氏变换 147
8.2 拉氏变换的性质 149
8.2.1 拉氏变换的基本性质 150
8.2.2 卷积 158
8.3 拉氏逆变换 162
8.3.1 引言 162
8.3.2 反演定理和赫维赛德（Heaviside）展开式 162
8.4 拉氏变换的应用 166
习题八 169
附录 172
附录Ⅰ 部分习题答案 172
附录Ⅱ 傅氏变换简表 182
附录Ⅲ 拉氏变换简表 185
参考文献 190