第1章 行列式 1
1.1行列式的定义 1
1.1.1二阶、三阶行列式 1
1.1.2数码的排列 3
1.1.3 n阶行列式的定义 5
历史寻根：行列式 8
习题1.1 9
1.2行列式的性质 9
习题1.2 15
1.3行列式的展开定理 15
1.3.1余子式和代数余子式 16
1.3.2行列式按行（列）展开定理 16
1.3.3拉普拉斯（Laplace）展开定理 19
背景聚焦：解析几何中的行列式 22
习题1.3 23
1.4行列式的计算 24
1.4.1利用行列式的定义 24
1.4.2化为上（下）三角形行列式 25
1.4.3利用行列式展开定理 26
方法索引：数学归纳法 26
1.4.4数学归纳法 27
历史寻根：范德蒙 28
1.4.5递推法 28
1.4.6升阶法（加边法） 29
1.4.7利用已知行列式 30
1.4.8综合例题 31
习题1.4 32
1.5克莱姆（Cramer）法则 33
历史寻根：克莱姆 38
习题1.5 38
总习题一 38
第2章 矩阵 43
2.1矩阵的定义与运算 43
2.1.1矩阵的概念 43
历史寻根：矩阵 45
2.1.2矩阵的加法 45
2.1.3数乘矩阵 46
2.1.4矩阵与矩阵的乘法 47
2.1.5方阵的幂运算 50
2.1.6矩阵的转置 52
2.1.7共轭矩阵 53
背景聚焦：天气的马尔可夫（Markov）链 53
习题2.1 54
2.2几种特殊的矩阵 55
2.2.1对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 55
2.2.2上（下）三角形矩阵 56
2.2.3对称矩阵和反对称矩阵 57
2.2.4幂零矩阵、幂等矩阵和幂幺矩阵 58
习题2.2 59
2.3可逆矩阵 59
2.3.1方阵的行列式 60
2.3.2方阵的逆 62
2.3.3矩阵方程 65
背景聚焦：矩阵密码法 67
习题2.3 67
2.4矩阵的分块 68
2.4.1矩阵的分块及运算 68
2.4.2可逆分块矩阵 73
习题2.4 76
2.5矩阵的初等变换与初等矩阵 76
2.5.1矩阵的初等变换 77
2.5.2初等矩阵 78
2.5.3初等矩阵与初等变换 80
2.5.4用初等变换的方法求逆矩阵 82
习题2.5 84
2.6矩阵的秩 85
2.6.1子式 85
2.6.2矩阵的秩 85
2.6.3初等变换求矩阵的秩 86
2.6.4几个常见的结论 89
历史寻根：凯莱 90
习题2.6 91
总习题二 91
第3章 向量与线性方程组 96
3.1线性方程组解的存在性 96
3.1.1高斯（Gauss）消元法 96
3.1.2线性方程组解的存在性 98
历史寻根：线性方程组 104
习题3.1 105
3.2向量组的线性相关性 106
3.2.1 n维向量的概念 106
3.2.2线性表示与线性组合 108
3.2.3线性相关与线性无关 109
3.2.4线性相关性的几个定理 111
历史寻根：向量 113
习题3.2 113
3.3向量组的秩 114
3.3.1向量组的等价 114
3.3.2极大线性无关组与向量组的秩 116
3.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系 118
习题3.3 122
3.4向量空间 122
3.4.1向量空间的概念 123
3.4.2基、维数与坐标 124
3.4.3子空间及其维数 126
习题3.4 128
3.5线性方程组解的结构 128
3.5.1齐次线性方程组解的结构 128
3.5.2非齐次线性方程组解的结构 132
习题3.5 137
总习题三 138
第4章 矩阵相似对角化 143
4.1欧氏空间Rn 143
4.1.1内积的概念 143
4.1.2标准正交基 145
4.1.3正交矩阵及其性质 150
习题4.1 151
4.2方阵的特征值和特征向量 151
4.2.1特征值和特征向量的基本概念 152
方法索引：求实系数多项式的实根 153
4.2.2特征值的性质 154
背景聚焦：特征值与Buckey球的稳定性 157
4.2.3特征向量的性质 157
历史寻根：特征值和特征向量 160
习题4.2 160
4.3矩阵相似对角化条件 161
4.3.1相似矩阵 161
4.3.2矩阵可对角化条件 162
4.3.3矩阵相似对角化的应用 165
背景聚焦：工业增长模型 167
习题4.3 168
4.4实对称矩阵的相似对角化 169
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量 169
4.4.2实对称矩阵相似对角化 170
背景聚焦：面貌空间 173
习题4.4 174
4.5 Jordan标准形介绍 175
4.5.1 Jordan矩阵 175
4.5.2 Jordan标准形定理 176
4.5.3 Jordan标准形的求法 177
历史寻根：矩阵论 183
总习题四 184
第5章 二次型 188
5.1二次型及其矩阵表示 188
5.1.1基本概念 188
5.1.2线性替换 190
5.1.3矩阵的合同 191
历史寻根：二次型 192
习题5.1 192
5.2化二次型为标准形 193
5.2.1正交替换法 193
5.2.2配方法 195
5.2.3初等变换法 198
习题5.2 201
5.3化二次型为规范形 201
5.3.1实二次型的规范形 202
5.3.2复二次型的规范形 203
习题5.3 205
5.4正定二次型和正定矩阵 205
5.4.1基本概念 205
5.4.2正定二次型的判定 206
5.4.3正定矩阵的性质 212
5.4.4其他有定二次型 213
习题5.4 214
总习题五 215
第6章 线性空间与线性变换 219
6.1线性空间的概念 219
6.1.1线性空间的定义与例子 219
6.1.2线性空间的简单性质 221
6.1.3子空间 222
6.1.4实内积空间 224
习题6.1 226
6.2线性空间的基、维数和坐标 226
6.2.1基与维数 227
6.2.2坐标 228
6.2.3基变换与坐标变换 230
习题6.2 233
6.3线性变换 233
6.3.1线性变换的概念 233
6.3.2线性变换的简单性质 235
6.3.3线性变换的矩阵表示 236
习题6.3 238
6.4线性变换在不同基下的矩阵 239
习题6.4 242
总习题六 242
附录 246
附录A矩阵特征问题的数值解 246
附录B广义逆矩阵简介 252
附录C数域与多项式简介 255
附录D Maple的基本知识 259
部分习题答案与提示 265
参考文献 288