第一篇 复变函数 2
第1章 复变函数与解析函数 2
1.1 复变函数 2
1.1.1 平面点集及其有关概念 2
1.1.2 复变函数 6
1.1.3 映射的概念 6
1.1.4 复变函数的极限与连续性 8
1.2 解析函数 11
1.2.1 复变函数的导数 11
1.2.2 解析函数 14
1.2.3 函数解析的充要条件 15
1.3 解析函数与调和函数的关系 21
1.4 几种常见的初等函数 24
1.4.1 指数函数 24
1.4.2 对数函数 25
1.4.3 幂函数 28
1.4.4 三角函数 29
习题1 32
第2章 复变函数的积分 35
2.1 复变函数的积分 35
2.1.1 复变函数积分的定义 35
2.1.2 复变函数积分的基本性质 37
2.1.3 复积分存在的条件及计算法 38
2.2 柯西-古萨基本定理 42
2.2.1 基本定理 42
2.2.2 不定积分 45
2.2.3 基本定理的推广 47
2.3 柯西积分公式与解析函数的高阶导数 51
2.3.1 柯西积分公式 51
2.3.2 解析函数的高阶导数 54
习题2 58
第3章 级数 62
3.1 复级数的基本概念 62
3.1.1 复数项级数 62
3.1.2 复函数项级数 63
3.2 幂级数 65
3.2.1 幂级数的概念 65
3.2.2 幂级数的收敛圆和收敛半径 66
3.3 泰勒级数 68
3.3.1 解析函数的泰勒展开式 68
3.3.2 初等函数的泰勒展开式 70
3.4 罗伦级数 72
3.4.1 罗伦级数 72
3.4.2 解析函数的罗伦展开式 74
习题3 79
第4章 留数 82
4.1 孤立奇点及其分类 82
4.1.1 可去奇点 83
4.1.2 极点 85
4.1.3 本性奇点 87
4.2 留数 89
4.2.1 留数的概念 89
4.2.2 留数的计算 90
4.2.3 留数定理 94
4.3 留数在定积分上的应用 96
4.3.1 计算？dx型积分 98
4.3.2 计算？R(cosx,sinx)dx型积分 99
4.3.3 计算？f(x)e？dx型积分 101
4.4 幅角原理 103
4.4.1 对数留数 103
4.4.2 幅角原理 105
习题4 110
第5章 保角映射 113
5.1 保角映射的概念 113
5.1.1 解析函数导数的几何意义 113
5.1.2 保角映射的概念 115
5.2 分式线性映射 117
5.2.1 分式线性映射及其分解 117
5.2.2 分式线性映射的性质 122
5.3 分式线性映射的确定及其应用 124
5.3.1 分式线性映射的确定 124
5.3.2 三类典型的分式线性映射 127
5.4 两个初等函数所构成的映射 133
5.4.1 幂函数w=z？ 133
5.4.2 指数函数w=e？ 137
习题5 140
习题答案 143
第二篇 积分变换 155
第1章 拉普拉斯变换 155
1.1 拉普拉斯变换的概念 155
习题1.1 160
1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 161
1.2.1 阶跃函数 161
1.2.2 单位脉冲函数 164
习题1.2 167
1.3 拉普拉斯变换的性质 168
1.3.1 性质 168
1.3.2 利用性质求拉普拉斯变换的例题 183
习题1.3 190
1.4 拉普拉斯变换的反变换 193
习题1.4 206
1.5 卷积 208
1.5.1 卷积的概念 208
1.5.2 卷积的性质 209
习题1.5 213
1.6 拉普拉斯变换的应用 213
1.6.1 求解常系数线性微分方程 213
1.6.2 线性系统的传递函数 225
习题1.6 231
第2章 傅里叶变换 233
2.1 从傅氏级数到傅里叶积分 233
2.2 傅里叶积分的复数形式——傅里叶变换 236
2.3 求傅氏变换与傅里叶积分的例子 240
习题2.1 247
2.4 非周期函数的频谱 249
习题2.2 256
2.5 傅里叶变换的性质 257
2.5.1 性质 258
2.5.2 卷积定理 266
2.5.3 综合例题 270
习题2.3 282
第3章 z-变换 284
3.1 离散的拉普拉斯变换 284
3.2 z-变换的定义及运算 288
习题3.1 292
3.3 z-变换的重要定理 292
习题3.2 305
3.4 z-反变换 306
习题3.3 314
3.5 用z-变换解差分方程 314
3.5.1 差分的概念 314
3.5.2 线性差分方程 315
习题3.4 320
附录Ⅰ 拉普拉斯变换简表 321
附录Ⅱ 傅氏变换简表 327
附录Ⅲ 拉普拉斯变换的反演积分 332
习题答案 334