第1章 集合 1
1.1 集合的基本概念 1
1.1.1 集合的表示方法 1
1.1.2 子集 2
1.1.3 全集和补集 3
1.1.4 幂集 3
习题 4
1.2 集合的基本运算 5
1.2.1 并和交 5
1.2.2 差和对称差 8
习题 12
1.3 包含排斥原理 13
习题 17
第2章 二元关系 18
2.1 二元关系及其表示形式 18
2.1.1 引言 18
2.1.2 集合的笛卡儿乘积 19
2.1.3 二元关系的三种表示方法 21
习题 24
2.2 二元关系的基本类型与判定方法 24
2.2.1 关系的基本类型 25
2.2.2 可传递性的判定方法 27
习题 32
2.3 等价关系、相容关系和偏序关系 33
2.3.1 等价关系的定义 33
2.3.2 等价关系的特征 33
2.3.3 等价类和商集 35
2.3.4 集合的划分 36
2.3.5 相容关系 37
2.3.6 覆盖和完全覆盖 38
2.3.7 相容类和最大相容类 38
2.3.8 偏序关系 40
习题 44
2.4 复合关系、逆关系和关系的闭包运算 46
2.4.1 复合关系 46
2.4.2 逆关系 50
2.4.3 关系的闭包运算 51
习题 53
第3章 函数 54
3.1 函数的定义与特殊函数 54
3.1.1 函数的定义 54
3.1.2 特殊函数 55
习题 57
3.2 复合函数与逆函数 58
习题 66
第4章 代数结构 67
4.1 代数系统 67
4.1.1 代数系统的基本概念 67
4.1.2 特殊运算与特殊元素 69
4.1.3 同构 75
4.1.4 同态 79
习题 84
4.2 半群与独异点 85
4.2.1 半群与子半群 85
4.2.2 独异点与子独异点 91
习题 94
4.3 群 95
4.3.1 群的定义 95
4.3.2 群的性质 98
习题 102
4.4 子群 104
4.4.1 子群的定义 104
4.4.2 群中元素的阶数 105
习题 110
4.5 循环群 111
4.5.1 循环群的定义 111
4.5.2 循环群的性质 112
习题 116
4.6 置换群 116
习题 123
4.7 陪集和拉格朗日定理 123
4.7.1 陪集 124
4.7.2 拉格朗日定理 124
习题 131
4.8 群同态 131
4.8.1 同余关系与商代数 131
4.8.2 同余与同态 136
4.8.3 群的同态与同余 139
习题 150
4.9 群码 151
4.10 环和域 155
4.10.1 环 155
4.10.2 域 160
习题 161
4.11 格和布尔代数 162
4.11.1 格的定义 162
4.11.2 格和偏序集 164
4.11.3 分配格、有界格和有补格 168
4.11.4 布尔代数 173
习题 177
第5章 图论 178
5.1 图的基本概念 178
5.1.1 图的基本类型 178
5.1.2 图中顶点的度数 179
5.1.3 完全图 181
5.1.4 子图 181
5.1.5 图的矩阵表示 182
5.1.6 图的同构 183
5.1.7 补图 184
习题 188
5.2 图的连通性和赋权图的最短通路 189
5.2.1 通路与回路 189
5.2.2 图的连通性 190
5.2.3 赋权图的最短通路 193
习题 201
5.3 树 202
5.3.1 无向树 202
5.3.2 有向树 204
5.3.3 周游算法 206
5.3.4 前缀码与最优树 208
习题 214
5.4 欧拉图与哈密顿图 215
5.4.1 欧拉图 215
5.4.2 哈密顿图 218
习题 226
5.5 二部图和平面图 228
5.5.1 二部图 228
5.5.2 平面图 231
习题 242
第6章 命题逻辑 243
6.1 命题与联结词 243
6.1.1 命题 243
6.1.2 联结词 244
习题 248
6.2 真值表与逻辑等价 249
6.2.1 真值表 249
6.2.2 逻辑等价 249
6.2.3 代换规则 251
6.2.4 对偶原理 253
习题 253
6.3 范式 254
6.3.1 析取范式和主析取范式 254
6.3.2 合取范式和主合取范式 258
习题 262
6.4 永真蕴含式 263
习题 266
6.5 推理理论 266
6.5.1 前提与有效结论 266
6.5.2 直接证明法 268
6.5.3 间接证明法 268
习题 271
第7章 谓词逻辑 273
7.1 谓词逻辑的基本概念 273
7.1.1 谓词与命题函数 273
7.1.2 量词 275
7.1.3 谓词合式 279
7.1.4 约束元和自由元 279
习题 281
7.2 等价式与永真蕴含式 282
7.2.1 等价式 282
7.2.2 前束范式 284
7.2.3 永真蕴含式 285
习题 287
7.3 谓词演算的推理理论 287
习题 290
参考文献 291