第1篇 高等数学题型 1
第1章 极限和连续 1
1.1 重要定理 1
1.2 重要公式 3
1.3 函数的极限 4
题型1 无穷小的比较或确定无穷小的阶 4
题型2 求未定式函数极限 5
题型3 求分段函数在分界点的极限 12
题型4 极限式中常数的确定 13
1.4 数列的极限 15
题型5 求各种类型（∞/∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限 15
题型6 给出数列｛xn｝通项表达式，求极限lim n→∞ xn 17
题型7 数列n项和Sn=n ∑ i=1 ai，当n→∞时的极限 18
题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限 20
1.5 函数的连续性 22
题型9 函数连续性的讨论 22
题型10 确定函数的间断点及其类型 23
1.6 杂例 25
题型11 从含有f（x）及lim x→x0 f（x）的方程中求解f(x) 25
题型12 当x→0时，求含有e1/x,arctan1/x,arccot1/x,｜x｜的极限 27
题型13 含f(x+a)-f（x）的非0/0型极限式且f（x）可导 28
第2章 导数与微分 29
2.1 导数和微分的概念 29
2.2 导数公式和运算法则 30
2.3 重要定理 31
2.4 与导数定义和性质有关的命题 31
题型14 求含有抽象函数的0/0型极限 31
题型15 与抽象函数的导数相关的命题 34
题型16 判断函数的可导性 36
2.5 各种函数的导数或微分 37
题型17 求一元复合函数的导数或微分 37
题型18 求参数方程所确定的函数的导数 37
题型19 求一元隐函数的导数或微分 38
题型20 求幂指函数的导数或微分 39
题型21 求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 40
题型22 求分段函数的导数或微分 41
题型23 求简单函数的高阶导数 44
第3章 不定积分 48
3.1 不定积分 48
3.2 三种基本积分方法 49
3.3 不定积分中的概念 57
题型24 与原函数相关的命题 57
3.4 各种函数的不定积分 58
题型25 求简单有理函数的不定积分 58
题型26 简单无理函数的不定积分 60
题型27 三角有理式的积分 61
题型28 分段函数的不定积分 64
题型29 含对数函数、反三角函数的不定积分 66
题型30 复合函数的不定积分 67
题型31 计算隐函数的不定积分 68
第4章 定积分 70
4.1 定积分的基本性质 70
4.2 重要定理 70
4.3 重要公式 71
4.4 计算定积分的方法 72
4.5 反常积分 73
4.6 与定积分的定义和性质相关的命题 75
题型32 定积分的估值 75
题型33 变限积分的求导问题 76
4.7 各种类型定积分的计算 77
题型34 求分段函数的定积分 77
题型35 求含有绝对值符号的定积分 78
题型36 求被积函数中含有变上限积分的定积分 79
题型37 求对称区间［-l,l］上的定积分 80
题型38 求周期函数的定积分 82
题型39 求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分 83
题型40 求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分 83
题型41 定积分等式的证明 84
题型42 定积分不等式的证明 88
4.8 反常积分 92
题型43 反常积分的计算及收敛 92
第5章 微分中值定理 94
5.1 闭区间上连续函数的性质 94
5.2 微分中值定理 94
5.3 闭区间上连续函数的命题 95
题型44 闭区间上连续函数命题的证明 95
5.4 中值定理的应用 99
题型45 证明给出的函数f（x）满足某中值定理 99
题型46 证明某个函数恒等于一个常数的命题 100
题型47 命题f(n)(ξ)=0的证明 101
题型48 欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k（k≠0）或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f′(ξ),…,f(n)（ξ）所构成的代数式成立 102
题型49 欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ,η（ξ≠η）满足某个代数式 105
第6章 一元微积分的应用 107
6.1 重要定理和结论 107
6.2 导数的应用 107
题型50 一元函数单调增减性的判别 107
题型51 一元函数极值的判定或求解 110
题型52 求一元函数的最值及简单应用 111
题型53 曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解 112
题型54 函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定 113
题型55 与曲线曲率相关的命题 115
6.3 方程的根 116
题型56 方程根的存在性问题 116
题型57 方程根的个数的研究 117
题型58 方程根的唯一性问题 118
6.4 定积分的应用 120
题型59 利用微元法解题 120
题型60 求平面图形的面积 122
题型61 求旋转体的侧面积 124
题型62 求已知截面面积的立体体积或旋转体体积 126
题型63 求平面曲线的弧长 128
题型64 一元积分在物理上的应用 129
第7章 常微分方程 132
7.1 二阶线性微分方程解的性质 132
7.2 二阶线性微分方程解的结构定理 132
7.3 一阶微分方程的求解 133
题型65 一阶可分离变量方程的求解 133
题型66 一阶齐次微分方程或可化为齐次微分方程的求解 134
题型67 一阶线性微分方程的求解 137
题型68 伯努利方程的求解 139
题型69 全微分方程的求解 140
7.4 二阶或二阶以上微分方程的求解 143
题型70 可降阶的高阶微分方程的求解 143
题型71 有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题 144
题型72 求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解 145
题型73 求欧拉方程的通解 151
题型74 微分方程在几何中的应用 152
题型75 微分方程在物理中的应用 153
第8章 向量代数与空间解析几何 156
8.1 概念和性质 156
8.2 两个向量之间的关系 156
8.3 平面方程的几种形式 157
8.4 空间直线方程的几种形式 157
8.5 常见二次曲面的标准形式 158
题型76 向量的运算 158
题型77 求平面方程 160
题型78 求空间直线方程 161
题型79 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系 162
题型80 求柱面方程 165
题型81 求投影线方程 167
题型82 求旋转曲面方程 168
第9章 多元函数微分学 170
9.1 连续、可微和可导的关系 170
9.2 多元函数的极值 170
9.3 多元函数微分 171
题型83 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题 171
题型84 简单显函数z=f（x,y）偏导数的计算 172
题型85 考查二元函数z=f（x,y）的连续、偏导及可微性 173
题型86 多元复合函数偏导数的计算 174
题型87 隐函数偏导数的计算 179
题型88 多元函数全微分的计算 183
9.4 多元函数在几何上的应用 184
题型89 求空间曲线在某点处的切线和法平面方程 184
题型90 求空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 185
9.5 多元函数的极值和最值 187
题型91 求多元函数的极值 187
题型92 求多元函数的最值 189
第10章 重积分 193
10.1 二重积分的性质和定理 193
10.2 二重积分的计算 194
10.3 二重积分 196
题型93 更换二重积分的积分次序 196
题型94 选择积分次序 197
题型95 积分区域关于坐标轴对称的二重积分 199
题型96 分段函数的二重积分 201
题型97 被积函数f（x,y）中含有绝对值符号的二重积分 203
题型98 被积函数f（x,y）中含有最值符号max或min的二重积分 204
题型99 二重积分等式的证明 205
题型100 二重积分不等式的证明 206
10.4 三重积分 208
题型101 三重积分的计算 208
题型102 利用对称性化简三重积分 213
题型103 利用轮换对称性化简三重积分 214
10.5 重积分的应用 215
题型104 求体积 215
题型105 求曲面的面积 216
题型106 求薄片或形体的质量、质心的坐标、转动惯量、引力 217
第11章 无穷级数 219
11.1 基本性质 219
11.2 级数的判敛法 219
11.3 幂级数 221
11.4 七个常见的函数展开式（必须熟记） 222
11.5 与级数概念和性质相关的命题 223
题型107 判别数项级数∞ ∑ n=1 un的敛散性，并附有“若收敛时，求其和”的命题 223
题型108 利用级数敛散性的定义及性质，判断级数的敛散性 224
11.6 级数敛散性的判别 225
题型109 正项级数敛散性的判别 225
题型110 交错级数∞ ∑ n=1 (-1)n-1 un （un＞0）敛散性的判别 228
题型111 任意项级数敛散性的判别 230
题型112 有关数项级数敛散性的证明 233
题型113 给出函数f（x）的某种条件，形如∞ ∑ n=1 f（n）的级数的敛散性的证明 235
题型114 利用级数证明数列｛an｝极限的存在或求解某些特殊极限 236
11.7 幂级数 237
题型115 求函数项级数的收敛域 237
题型116 求幂级数的收敛域或收敛半径 240
题型117 求函数在指定点的幂级数展开式 242
题型118 无穷级数求和 245
11.8 傅里叶级数 250
题型119 将函数展开成傅里叶级数 250
第12章 曲线积分与曲面积分 254
12.1 曲线积分 254
12.2 曲面积分 255
12.3 曲线积分题型 257
题型120 对弧长曲线积分的计算 257
题型121 平面坐标中对坐标的曲线积分的计算 259
题型122 空间域中对坐标的曲线积分的计算 264
12.4 曲面积分题型 265
题型123 对面积的曲面积分的计算 265
题型124 对坐标的曲面积分的计算 268
题型125 应用题 273
题型126 场论初步 275
第13章 函数方程与不等式证明 278
13.1 函数方程 278
题型127 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程 278
题型128 利用极限求函数方程 278
题型129 已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程 279
题型130 已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程 279
题型131 已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程 282
题型132 已知函数方程中含有偏导数条件或曲线积分与路径无关，求函数方程 283
13.2 不等式证明 284
题型133 存在一个点ξ∈(a,b)，使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成f(b)-f(a)/b-a或f(b)-f(a)/g(b)-g(a)的命题的证明 284
题型134 在某一区间（a,b）不等式命题成立的证明 285
题型135 文字不等式的证明 286
题型136 函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明 287
题型137 杂例 288
第2篇 线性代数题型 291
第14章 行列式 291
14.1 重要定理和性质 291
14.2 重要结论 291
题型138 与行列式的定义和性质相关的命题 292
题型139 数值型行列式的计算 293
题型140 行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算 298
题型141 计算抽象行列式 300
第15章 矩阵 303
15.1 矩阵的运算性质 303
15.2 重要结论 303
15.3 逆矩阵 304
题型142 有关逆矩阵的计算问题 304
题型143 矩阵可逆的证明 307
15.4 矩阵的运算 308
题型144 有关矩阵运算的命题 308
题型145 求矩阵的行列式 310
题型146 与伴随矩阵相关的命题 312
15.5 初等矩阵 313
题型147 有关初等变换和初等矩阵的命题 313
第16章 向量 316
16.1 重要结论 316
16.2 向量题型 317
题型148 讨论向量组的线性相关性 317
题型149 求向量组的极大线性无关组和秩 321
题型150 有关向量组或矩阵的秩的计算与证明 322
题型151 有关向量的线性表示的问题 323
16.3 向量空间题型 328
题型152 求向量空间的基与维数 328
题型153 求过渡矩阵与向量的坐标 329
题型154 有关正交矩阵的命题 330
第17章 线性方程组 331
17.1 重要性质和定理 331
17.2 有关线性方程组的题型 332
题型155 有关线性方程组的基本概念题 332
题型156 有关基础解系的命题 334
题型157 线性方程组的求解 335
题型158 矩阵方程的求解 339
题型159 讨论两个线性方程组解之间的关系 341
第18章 特征值与特征向量 344
18.1 重要结论 344
18.2 矩阵的特征值与特征向量 345
题型160 求数值型矩阵的特征值与特征向量 345
题型161 求抽象矩阵的特征值与特征向量 347
题型162 特征值与特征向量的逆问题 348
18.3 相似矩阵及其对角化 350
题型163 相似矩阵的判定及其逆问题 350
题型164 矩阵可对角化的判定及其逆问题 351
题型165 有关实对称矩阵的命题 352
第19章 二次型 354
19.1 重要结论 354
19.2 二次型题型 354
题型166 二次型所对应的矩阵及其性质 354
题型167 用正交变换法化二次型为标准型 356
题型168 有关正定的判定 360
题型169 与二次曲面相关的命题 362
第3篇 概率论与数理统计题型 365
第20章 事件的概率 365
20.1 重要性质 365
20.2 常用结论 366
20.3 古典概型和几何概型 367
题型170 古典概型的概率计算 367
题型171 几何概型的概率计算 368
20.4 概率的概念、性质及计算 369
题型172 有关事件的独立性的命题 369
题型173 利用逆事件概率公式P(A)=1-P（？）计算概率 371
题型174 利用加法公式、乘法公式和条件概率公式计算概率 371
题型175 利用事件的独立性和伯努利概型计算概率 374
题型176 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率 375
第21章 随机变量及其分布 379
21.1 重要定理和结论 379
21.2 一维随机变量及其分布 379
题型177 与一维随机变量概念和性质相关的命题 379
题型178 求离散型随机变量的分布律或分布函数 381
题型179 求连续型随机变量的概率密度或分布函数 383
题型180 由已知分布求概率或由已知概率求分布 384
题型181 求一维随机变量函数的概率分布 386
题型182 综合题 390
第22章 多维随机变量及其分布 392
22.1 重要结论 392
22.2 二维随机变量及其分布 392
题型183 与二维随机变量概念、性质有关的命题 392
题型184 求二维随机变量的各种分布（分布律，边缘分布律，边缘分布密度） 394
题型185 随机变量独立性的判别 400
题型186 由已知分布求概率 401
题型187 求二维随机变量函数的分布 403
题型188 关于二维正态分布问题 408
第23章 随机变量的数字特征 411
23.1 重要性质和公式 411
23.2 重要结论 412
23.3 一维随机变量的数字特征 412
题型189 求一维随机变量的数字特征 412
题型190 求一维随机变量函数的数字特征或逆问题 414
23.4 二维或多维随机变量的数字特征 415
题型191 求二维随机变量及其函数的数字特征 415
题型192 有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题 420
题型193 利用0-1分布求多维随机变量的数字特征 422
第24章 大数定律和中心极限定理 424
24.1 大数定律 424
24.2 中心极限定理 425
题型194 估算随机事件的概率 425
题型195 与大数定律有关的命题 429
题型196 试验次数n的确定 429
第25章 数理统计 432
25.1 常用统计量 432
25.2 三个常见的抽样分布：χ2分布、t分布和F分布 432
25.3 正态总体条件下样本均值和样本方差的分布 434
25.4 数理统计中的重要结论 435
25.5 参数估计的重要结论 435
25.6 假设检验的重要结论 435
25.7 统计量的基本概念 437
题型197 求统计量的分布及概率 437
题型198 求统计量的数字特征 439
25.8 参数估计 442
题型199 求参数的点估计（矩估计和最大似然估计） 442
题型200 讨论参数估计的性质 445
题型201 参数的区间估计 448
25.9 假设检验 452
题型202 正态总体的均值和方差的假设检验 452
题型203 有关两类错误的命题 454