第一章 线性空间与线性变换 1
1.1 线性空间 1
1.1.1 线性空间的概念与性质 1
1.1.2 基、维数与坐标 2
1.1.3 基变换与坐标变换 4
1.2 线性子空间 6
1.2.1 子空间的概念 6
1.2.2 子空间的运算 7
1.3 线性变换 9
1.3.1 线性变换的概念与性质 9
1.3.2 线性变换的矩阵表示 10
1.4 内积空间 15
1.4.1 内积空间的概念与性质 15
1.4.2 标准正交基 19
1.5 欧氏空间 21
1.5.1 度量矩阵 21
1.5.2 正交变换 23
1.6 酉空间 25
1.6.1 厄米特矩阵与酉矩阵 25
1.6.2 酉变换 26
习题一 27
数学实验1 29
第二章 矩阵的标准形 33
2.1 多项式矩阵 33
2.1.1 多项式矩阵的基本概念 33
2.1.2 λ－矩阵的史密斯标准形 35
2.1.3 行列式因子和初等因子 35
2.1.4 特征矩阵 40
2.2 矩阵的约旦标准形与有理标准形 42
2.2.1 相似矩阵 42
2.2.2 矩阵的约旦标准形 44
2.2.3 相似变换矩阵 48
2.2.4 矩阵的有理标准形 49
2.2.5 规范矩阵的标准形 51
2.3 矩阵的最小多项式 55
2.3.1 以数字为系数的矩阵多项式 55
2.3.2 哈密顿—凯莱定理 55
2.3.3 最小多项式 56
2.3.4 最小多项式的求法 57
2.3.5 与对角矩阵相似的条件 59
习题二 60
数学实验2 63
第三章 矩阵分析 69
3.1 向量范数 69
3.2 矩阵范数 74
3.2.1 矩阵范数的概念 74
3.2.2 弗罗比尼乌斯范数 74
3.2.3 算子范数 76
3.3 向量序列和矩阵序列的极限 80
3.3.1 向量序列的极限 80
3.3.2 矩阵序列的极限 81
3.4 函数矩阵的微分与积分 84
3.4.1 函数矩阵的微分和积分 84
3.4.2 纯量函数关于矩阵的微分 88
3.4.3 向量函数关于向量的微分 90
3.5 矩阵幂级数 91
3.5.1 矩阵级数 91
3.5.2 矩阵幂级数 92
3.6 矩阵函数 94
3.6.1 常见的矩阵函数 94
3.6.2 矩阵函数的计算 95
3.6.3 矩阵函数的性质 105
3.6.4 矩阵函数的多项式表示 108
习题三 110
数学实验3 113
第四章 矩阵函数在工程中的应用 120
4.1 矩阵函数在解线性微分方程组中的应用 120
4.1.1 常系数线性齐次微分方程组 120
4.1.2 常系数线性非齐次微分方程组 123
4.1.3 状态转移矩阵 124
4.1.4 n阶常系数微分方程 126
4.2 系统的能控性与可观性 129
4.2.1 定常线性系统的能控性 130
4.2.2 定常线性系统的可观性 132
习题四 134
数学实验4 135
第五章 广义逆矩阵 139
5.1 广义逆矩阵的概念 139
5.2 广义逆矩阵A- 141
5.2.1 矩阵的满秩分解 141
5.2.2 广义逆矩阵A-的计算法 144
5.2.3 广义逆矩阵A-的性质 147
5.3 广义逆矩阵A＋ 148
5.3.1 广义逆矩阵A＋存在唯一性定理及性质 148
5.3.2 广义逆矩阵A＋的计算方法 149
5.4 广义逆矩阵在解线性方程组的应用 152
5.4.1 相容方程组的一般解 152
5.4.2 相容线性方程组的最小范数解 153
5.4.3 不相容方程组的最小二乘解 155
习题五 157
数学实验5 159
习题答案 163
数学实验练习题答案 171
参考文献 173