导言 1
1 数学 1
1.1 数学是什么 1
1.1.1 数学是一种普遍语言 2
1.1.2 数学是一种普遍方法 3
1.1.3 数学是一种普遍思想原则 6
1.1.4 数学是一种思想工具、理性思维框架 6
1.2 数学的分科及其主要问题 8
1.2.1 操作技术 8
1.2.2 技术理论 9
1.2.3 操作对象理论 10
1.2.4 对象理论 10
1.2.5 结构理论 12
1.2.6 元理论 17
2 数学史 17
2.1 数学的演化与进步 18
2.2 数学史的分期 20
2.2.1 前史时期 21
2.2.2 古代及中世纪时期 22
2.2.3 17—18世纪的数学 23
2.2.4 19世纪的数学 24
2.2.5 20世纪的数学 26
3 数学史学史 27
3.1 数学史的工作 27
3.2 数学史研究的分期 29
3.2.1 史前史（18世纪之前） 29
3.2.2 草创时期（1750—1870） 29
3.2.3 黄金时代（1870—1914） 30
3.2.4 低潮时期（1914—1960） 32
3.2.5 复兴时期（1960— ） 33
第1章 古代数学的遗产 34
1 近代数学的起源 34
1.1 古希腊的数学 35
1.2 印度—阿拉伯的计算技术 37
2 近代以前欧洲数学的独创领域 38
2.1 三次、四次代数方程的求解 38
2.2 对数的发明 42
3 古希腊经典著作的传播 43
第2章 17—18世纪各国数学发展概况 48
1 意大利 48
2 法国 51
3 英国 55
4 其他各国 61
4.1 尼德兰 61
4.2 德国 62
4.3 瑞士 64
第3章 符号代数学 66
1 数学的符号化 66
2 韦达 67
3 符号代数学 70
4 代数方程论 74
4.1 方程根的数目 74
4.2 正根、负根、实根、复根的数目 76
4.3 根与系数的关系 78
5 五次方程的求解 79
5.1 一般方程 80
5.2 二项方程 84
第4章 解析几何学 87
1 笛卡尔 87
2 解析几何学的产生 90
3 笛卡尔的《方法谈》中的附录《几何学》 93
4 解析几何学的发展与传播 96
第5章 微积分 106
1 微积分前史 108
1.1 形形色色的曲线 108
1.2 曲线的求积法 113
1.3 曲线的求切线法 120
2 微积分的创立 125
2.1 牛顿 125
2.2 莱布尼茨 128
2.3 微积分的初建 132
2.3.1 微积分的普遍性 132
2.3.2 牛顿的微积分 133
2.3.3 莱布尼茨的微积分 136
2.3.4 微积分优先权之争 141
3 微积分的发展 143
3.1 伯努利时代（1690—1740） 143
3.1.1 伯努利家族 145
3.1.2 一元微积分 149
3.1.3 多元微积分 156
3.2 欧拉时代 163
3.2.1 欧拉 164
3.2.2 欧拉的三部主要著作 170
3.2.3 微积分技术的进步 173
3.3 拉格朗日时代 176
3.3.1 拉格朗日 176
3.3.2 拉普拉斯 181
3.3.3 勒让德 185
3.3.4 19世纪初的微积分 190
第6章 初等数论 192
1 费尔马 192
2 初等数论 194
2.1 费尔马的数论 194
2.2 欧拉的数论 198
第7章 19世纪的数学 202
1 数学概况 202
2 数学与社会 206
2.1 法国 207
2.2 德国 212
2.3 意大利 220
2.4 英国 225
2.5 俄国 229
2.6 其他各国 231
第8章 实分析 237
1 无穷表达式 237
1.1 无穷级数 239
1.2 无穷连分数 244
2 函数及其表示 249
2.1 函数观念的发展 249
2.2 幂级数 253
2.3 三角级数 259
3 数学分析的严密化 267
3.1 柯西 267
3.2 数学分析的严密化 270
第9章 复分析 278
1 通向复分析的四条途径 278
1.1 代数 279
1.2 代数分析 280
1.3 定积分 282
1.4 几何表示及保角映射 285
2 柯西的复分析 286
3 黎曼的几何函数论 294
4 外尔斯特拉斯和他的解析函数论 299
4.1 外尔斯特拉斯 299
4.2 外尔斯特拉斯的解析函数论 303
第10章 微分方程 306
1 常微分方程 307
1.1 特殊类型方程的特殊解法（1690—1740） 307
1.2 一般常微分方程的系统研究（1740—1800） 310
1.3 级数解与特殊函数（1800—1860） 314
1.4 超几何级数 316
1.5 斯图姆—刘维尔理论 321
1.6 微分方程解析理论（1860—1910） 323
1.7 微分方程定性理论（1880—1930） 328
2 偏微分方程 331
2.1 一阶偏微分方程 331
2.2 二阶数学物理方程 342
2.3 位势理论 349
3 积分方程 359
3.1 前史 362
3.2 沃尔泰拉积分方程理论 368
3.3 弗瑞德霍姆积分方程理论 369
3.4 希尔伯特理论 371
3.5 希尔伯特以后的积分方程理论 374
4 变分法 375
4.1 前史 376
4.2 变分法的建立 377
4.3 极值条件 379
4.4 19世纪末以来的发展 380
第11章 代数 383
1 通论 383
2 线性代数及多线性代数 385
3 代数方程论 391
3.1 阿贝尔 391
3.2 伽罗华 395
3.3 一般五次方程代数不可解性的证明 399
3.4 伽罗华理论的传播 402
3.5 伽罗华以后的代数方程论 403
4 置换群理论 404
5 代数方程组论 410
第12章 数论 414
1 高斯 414
2 《算术研究》 418
2.1 同余理论 419
2.2 二次型理论 422
3 解析数论 426
3.1 素数定理 427
3.2 黎曼ζ函数 431
4 不定方程 437
4.1 通论 437
4.2 费尔马大定理 441
第13章 几何学 447
1 通论 447
2 综合几何学与解析几何学的对立 450
3 非欧几何学 457
3.1 非欧几何学的前史 457
3.2 非欧几何学的创立 461
3.3 非欧几何学的传播及发展 467
4 微分几何学 470
4.1 平面曲线 471
4.2 空间曲线 471
4.3 三维空间中的曲面 474
5 高维几何学 482
5.1 高维空间与向量分析 482
5.2 黎曼 486
5.3 黎曼几何 492
5.4 张量分析 494
第14章 通向交换代数的诸理论 497
1 代数数论 497
1.1 早期的代数数论 500
1.2 戴德金的代数数论 505
1.2.1 数体及代数整数理论 506
1.2.2 理想理论 507
1.2.3 理想类数与戴德金ζ函数 508
1.2.4 相对扩张及非分支扩张 510
1.3 类域论 511
2 代数函数论 513
2.1 椭圆积分 513
2.2 椭圆函数 518
2.2.1 雅可比椭圆函数 518
2.2.2 外尔斯特拉斯的椭圆函数论 522
2.3 阿贝尔积分与阿贝尔函数 526
3 代数几何学 536
3.1 代数几何学的分期 537
3.1.1 史前时期（1860年以前） 537
3.1.2 经典代数几何学时期（1860—1920） 537
3.1.3 抽象代数几何学时期（1920年以后） 539
3.2 平面代数曲线 541
3.3 代数曲面 543
4 代数不变式论 547
4.1 前史 548
4.1.1 数论 548
4.1.2 代数 549
4.1.3 几何 550
4.2 朴素时期 550
4.3 形式时期 553
4.4 批判时期 554
4.5 现代时期 556
第15章 用群的观点统一数学 558
1 克莱因与埃尔兰根计划 559
1.1 克莱因 559
1.2 埃尔兰根计划 564
1.2.1 几何变换 565
1.2.2 变换群及埃尔兰根计划 568
2 S·李与连续变换群 571
2.1 S·李 571
2.2 连续变换群 575
2.2.1 连续变换群的来源 575
2.2.2 S·李的变换群理论 578
3 群与微分方程 582
4 庞加莱与自守函数论 586
4.1 庞加莱 586
4.2 自守函数论 588
第16章 基础研究 593
1 希尔伯特 594
2 几何基础 601
3 实数理论 606
4 整数理论 611
第17章 集合论 615
1 G·康托尔 615
2 康托尔无穷集合论的建立 620
3 20世纪初的基础危机 626
第18章 20世纪的数学 630
1 结构数学 631
1.1 抽象代数学 631
1.1.1 群论 632
1.1.2 域论 638
1.1.3 交换环论 640
1.1.4 环论 641
1.2 一般拓扑学 647
1.3 测度与积分理论 649
1.4 泛函分析 650
1.5 代数拓扑学 653
1.6 微分拓扑学与大范围分析 659
2 经典数学 661
2.1 单复变函数论 661
2.2 多复变函数论 665
2.3 调和分析 669
2.4 偏微分方程论 672
结束语 675
数学家小传 678
1 贝尔特拉米（Beltrami） 678
2 凯雷（Cayley） 679
3 沙勒（Chasles） 681
4 克里福德（Clifford） 682
5 达尔布（Darboux） 683
6 戴德金（Dedekind） 684
7 狄利克雷（Dirichlet） 687
8 哈密尔顿（Hamilton） 688
9 埃尔米特（Hermite） 691
10 克洛耐克（Kronecker） 692
11 库默尔（Kummer） 694
12 刘维尔（Liouville） 696
13 闵可夫斯基（Minkowski） 697
14 蒙日（Monge） 699
15 庞塞莱（Poncelet） 703
16 斯密司（Smith） 705
17 史陶特（Staudt） 706
18 史坦纳（Steiner） 708
19 斯图姆（Sturm） 710
20 西尔维斯特（Sylvester） 711
大事年表 714
主要参考文献 743