第一讲 压缩映射原理及其应用 1
一、压缩映射原理 1
二、不动点应用：迭代函数系统和分形图像压缩 11
三、探索问题 17
参考文献 18
第二讲 分段函数的应用：样条插值逼近 19
一、泰勒多项式和拉格朗日插值逼近的缺陷 19
二、分段线性函数逼近思想初步 21
三、样条插值的几个基本定义 21
四、样条插值的算法 24
五、B样条 29
六、探索问题 36
参考文献 37
第三讲 从数列到混沌 38
一、自然对数的产生 38
二、自然对数极限形式的应用 40
三、稳定不动点与不稳定不动点 44
四、对混沌的进一步认识 45
五、混沌的实例及对现代科学的影响 48
六、探索问题 49
参考文献 50
第四讲 Hausdorff维数 51
一、Peano曲线 51
二、康托尔集 53
三、Hausdorff维数 55
四、探索问题 57
参考文献 57
第五讲 Riemann积分与Lebesgue积分 58
一、Riemann定积分的概念及其几个充要条件 58
二、Lebesgue定理 61
三、Lebesgue积分 63
四、探索问题 67
参考文献 68
第六讲 常微分方程初步 69
一、微分方程解的存在性与唯一性 69
二、微分方程解关于初值的连续依赖性与可微性 73
三、解的Lyapunov稳定性 77
四、探索问题 79
参考文献 80
第七讲 从三体问题到Smale马蹄 81
一、三体问题 81
二、Smale马蹄与符号空间 85
三、蝴蝶效应 88
四、约克与李天岩的结论 90
五、探索问题 93
参考文献 93
第八讲 小波变换应用：信号多分辨分析初步 94
一、信号多分辨分析实例 94
二、信号多分辨表示的数学描述 96
三、信号多分辨分析的空间描述 100
四、小波变换的递推计算 101
五、逆小波变换的递推算法 104
六、Haar小波应用实例 105
七、探索问题 107
参考文献 108
第九讲 Mathematica软件在微积分中的应用 109
一、Mathematica软件介绍 109
二、Mathematica软件常用命令 110
三、Mathematica在微积分中的辅助作用 123
四、探索问题 139
参考文献 140
第十讲 非线性数值优化初步 141
一、优化问题举例 141
二、优化问题求解算法 146
三、求解软件应用举例 152
四、探索问题 161
参考文献 163
第十一讲 微分几何初步 164
一、曲面上的曲线的弧长 164
二、曲面上的参数变换 166
三、曲面上两个方向的交角 168
四、凸曲面 169
五、曲面上的短程线 173
六、极小曲面问题 176
七、探索问题 179
参考文献 179