第1章 数学语言与证明方法 1
1.1 常用的数学符号 1
1.1.1 集合符号 1
1.1.2 运算符号 2
1.1.3 逻辑符号 2
1.2 集合及其运算 3
1.2.1 集合及其表示法 3
1.2.2 集合之间的包含与相等 4
1.2.3 集合的幂集 5
1.2.4 集合的运算 6
1.2.5 基本集合恒等式及其应用 8
1.3 证明方法概述 11
1.3.1 直接证明法和归谬法 12
1.3.2 分情况证明法和构造性证明法 12
1.3.3 数学归纳法 14
1.4 递归定义 16
习题 17
第2章 命题逻辑 22
2.1 命题逻辑基本概念 22
2.1.1 命题与联结词 22
2.1.2 命题公式及其分类 28
2.2 命题逻辑等值演算 33
2.2.1 等值式与等值演算 33
2.2.2 联结词完备集 37
2.3 范式 39
2.3.1 析取范式与合取范式 39
2.3.2 主析取范式与主合取范式 42
2.4 推理 49
2.4.1 推理的形式结构 49
2.4.2 推理的证明 51
2.4.3 归结证明法 57
2.4.4 对证明方法的补充说明 60
习题 60
第3章 一阶逻辑 66
3.1 一阶逻辑基本概念 66
3.1.1 命题逻辑的局限性 66
3.1.2 个体词、谓词与量词 66
3.1.3 一阶逻辑命题符号化 68
3.1.4 一阶逻辑公式与分类 71
3.2 一阶逻辑等值演算 75
3.2.1 一阶逻辑等值式与置换规则 75
3.2.2 一阶逻辑前束范式 79
习题 81
第4章 关系 86
4.1 关系的定义及其表示 86
4.1.1 有序对与笛卡儿积 86
4.1.2 二元关系的定义 87
4.1.3 二元关系的表示 89
4.2 关系的运算 90
4.2.1 关系的基本运算 90
4.2.2 关系的幂运算 93
4.3 关系的性质 96
4.3.1 关系性质的定义和判别 96
4.3.2 关系的闭包 100
4.4 等价关系与偏序关系 104
4.4.1 等价关系 104
4.4.2 等价类和商集 104
4.4.3 集合的划分 105
4.4.4 偏序关系 107
4.4.5 偏序集与哈斯图 108
习题 112
第5章 函数 116
5.1 函数的定义及其性质 116
5.1.1 函数的定义 116
5.1.2 函数的像与完全原像 118
5.1.3 函数的性质 119
5.2 函数的复合与反函数 122
5.2.1 函数的复合 122
5.2.2 反函数 124
习题 128
第6章 图 132
6.1 图的基本概念 132
6.1.1 无向图与有向图 132
6.1.2 顶点的度数与握手定理 134
6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图 136
6.1.4 子图、补图 138
6.1.5 图的同构 139
6.2 图的连通性 141
6.2.1 通路与回路 141
6.2.2 无向图的连通性与连通度 141
6.2.3 有向图的连通性及其分类 144
6.3 图的矩阵表示 144
6.3.1 无向图的关联矩阵 144
6.3.2 有向无环图的关联矩阵 145
6.3.3 有向图的邻接矩阵 146
6.3.4 有向图的可达矩阵 147
6.4 几种特殊的图 149
6.4.1 二部图 149
6.4.2 欧拉图 152
6.4.3 哈密顿图 154
6.4.4 平面图 157
习题 166
第7章 树及其应用 173
7.1 无向树 173
7.1.1 无向树的定义及其性质 173
7.1.2 生成树 176
7.2 根树及其应用 177
7.2.1 根树及其分类 177
7.2.2 最优树与哈夫曼算法 178
7.2.3 最佳前缀码 179
7.2.4 根树的周游及其应用 181
习题 182
第8章 组合计数基础 185
8.1 基本计数规则 186
8.1.1 加法法则 186
8.1.2 乘法法则 186
8.1.3 分类处理与分步处理 187
8.2 排列与组合 187
8.2.1 集合的排列与组合 188
8.2.2 多重集的排列与组合 191
8.3 二项式定理与组合恒等式 193
8.3.1 二项式定理 193
8.3.2 组合恒等式 194
8.3.3 非降路径问题 198
8.4 多项式定理与多项式系数 201
8.4.1 多项式定理 201
8.4.2 多项式系数 202
习题 203
第9章 容斥原理 206
9.1 容斥原理及其应用 206
9.1.1 容斥原理的基本形式 206
9.1.2 容斥原理的应用 207
9.2 对称筛公式及其应用 210
9.2.1 对称筛公式 210
9.2.2 棋盘多项式与有限制条件的排列 212
习题 215
第10章 递推方程与生成函数 217
10.1 递推方程及其应用 217
10.1.1 递推方程的定义及实例 217
10.1.2 常系数线性齐次递推方程的求解 219
10.1.3 常系数线性非齐次递推方程的求解 222
10.1.4 递推方程的其他解法 224
10.1.5 递推方程与递归算法 228
10.2 生成函数及其应用 233
10.2.1 牛顿二项式定理与牛顿二项式系数 233
10.2.2 生成函数的定义及其性质 234
10.2.3 生成函数的应用 236
10.3 指数生成函数及其应用 241
10.4 Catalan数与Stirling数 243
习题 248
第11章 初等数论 251
11.1 素数 251
11.2 最大公约数与最小公倍数 254
11.3 同余 257
11.4 一次同余方程与中国剩余定理 259
11.4.1 一次同余方程 259
11.4.2 中国剩余定理 260
11.4.3 大整数算术运算 262
11.5 欧拉定理和费马小定理 263
习题 264
第12章 离散概率 268
12.1 随机事件与概率、事件的运算 268
12.1.1 随机事件与概率 268
12.1.2 事件的运算 270
12.2 条件概率与独立性 271
12.2.1 条件概率 271
12.2.2 独立性 273
12.2.3 伯努利概型与二项概率公式 273
12.3 离散型随机变量 274
12.3.1 离散型随机变量及其分布律 274
12.3.2 常用分布 275
12.3.3 数学期望 276
12.3.4 方差 278
12.4 概率母函数 280
习题 282
第13章 初等数论和离散概率的应用 286
13.1 密码学 286
13.1.1 恺撒密码 286
13.1.2 RSA公钥密码 287
13.2 产生伪随机数的方法 289
13.2.1 产生均匀伪随机数的方法 289
13.2.2 产生离散型伪随机数的方法 290
13.3 算法的平均复杂度分析 292
13.3.1 排序算法 292
13.3.2 散列表的检索和插入 295
13.4 随机算法 298
13.4.1 随机快速排序算法 298
13.4.2 多项式恒零测试 299
13.4.3 素数测试 301
13.4.4 蒙特卡罗法和拉斯维加斯法 302
习题 303
第14章 代数系统 306
14.1 二元运算及其性质 306
14.1.1 二元运算与一元运算的定义 306
14.1.2 二元运算的性质 308
14.2 代数系统 311
14.2.1 代数系统的定义与实例 311
14.2.2 代数系统的分类 312
14.2.3 子代数系统与积代数系统 313
14.2.4 代数系统的同态与同构 314
14.3 几个典型的代数系统 315
14.3.1 半群与独异点 315
14.3.2 群 317
14.3.3 环与域 323
14.3.4 格与布尔代数 325
习题 330
参考文献 335