第一章 绪论 1
1 数学问题与数值计算问题 1
2 数值计算的基本数学思想与方法 8
2.1 数值计算的基本思想 8
2.2 数值计算的基本方法 15
3 计算误差的基本概念和误差分析 18
3.1 误差来源的分类 18
3.2 绝对误差、相对误差与有效数字 21
3.3 算术运算的误差 27
3.4 适定性与稳定性 31
3.5 避免和减少误差的若干计算原则 35
4 计算复杂性概述 37
4.1 计算复杂度——计算的代价 37
4.2 收敛率——计算的速度 41
5 问题与探索：数值问题的病态性 44
综合习题一 45
数值实验一 49
数值实验1.1 迭代法的设计与运行（1） 50
数值实验1.2 迭代法的设计与运行（2） 50
数值实验1.3 函数逼近 50
数值实验1.4 初值误差对计算的影响 51
第二章 求解线性代数方程组的直接方法 53
1 引言 53
2 初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵 56
3 Gauss消元法 60
3.1 顺序Gauss消元法 60
3.2 消元过程的可行性 65
3.3 Gauss消元法的矩阵分析 67
3.4 Gauss主元消元法 70
4 三角分解法 76
4.1 直接三角分解法 76
4.2 列主元三角分解法 79
4.3 带状对角形线性方程组的三角分解法 80
4.4 正定矩阵的三角分解法 86
5 向量与矩阵的范数 91
5.1 线性空间中的范数 91
5.2 几个常用的向量范数 94
5.3 向量范数的等价性 96
5.4 矩阵范数 98
5.5 几个常用的诱导矩阵范数 101
5.6 范数的若干应用 103
6 线性方程组的误差分析及其性态 106
6.1 直接法的误差分析 106
6.2 线性方程组的条件数 110
7 问题与探索：矩阵条件数的近似估计 112
本章评述 114
综合习题二 115
数值实验二 118
数值实验2.1 电阻网络问题的求解 118
数值实验2.2 时间序列模型的求解 119
数值实验2.3 病态问题的求解 119
数值实验2.4 主元的选取与算法稳定性 120
第三章 求解线性代数方程组的迭代法 121
1 引言 121
2 基本迭代法及其构造 126
3 基本迭代法的收敛理论 137
3.1 迭代法的收敛性分析 137
3.2 收敛定理 137
3.3 误差估计 141
4 几类特殊方程的基本迭代法的收敛性 145
4.1 对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性 145
4.2 对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性 148
4.3 SOR迭代格式的收敛性 150
4.4 Richardson迭代格式的收敛性 152
5 迭代加速方法 154
5.1 多项式加速方法 155
5.2 SOR迭代的最优松弛因子简述 157
6 求解Ax＝b的变分原理与共轭梯度法 159
6.1 求解Ax＝b的变分原理与最速下降法 159
6.2 共轭方向法 164
6.3 共轭梯度法 167
6.4 求解非奇异方程组的共轭梯度法 171
7 问题与探索：预处理共轭梯度法 173
本章评述 176
综合习题三 177
数值实验三 181
数值实验3.1 基本迭代法的运行（1） 181
数值实验3.2 基本迭代法的运行（2） 181
数值实验3.3 基本迭代法的运行（3） 182
数值实验3.4 最优松弛因子的选择方法 182
数值实验3.5 逆矩阵的迭代计算 182
第四章 非线性方程组的数值求解 184
1 概述 184
2 非线性方程的根的定位和二分法 185
2.1 根的定位 185
2.2 二分法 188
3 基于不动点原理的迭代法 191
3.1 不动点方程与不动点迭代法 191
3.2 不动点的存在性与迭代法的全局收敛性 193
3.3 迭代法的局部收敛性与收敛阶 195
3.4 迭代法收敛的加速方法 197
4 Newton法（切线法） 203
4.1 Newton法及其迭代格式 203
4.2 Newton法的收敛性 204
4.3 求重根的修正Newton法 207
4.4 Newton法的进一步研究 209
5 非线性方程组的数值求解的基本方法 217
5.1 不动点迭代与压缩映射 217
5.2 不动点迭代法的局部收敛性 221
5.3 Newton迭代法 223
6 问题与探索：非线性方程组数值方法的进一步研究 227
6.1 同伦算法 227
6.2 拟Newton法 230
附录 向量值函数的可微性 232
本章评述 236
综合习题四 237
数值实验四 243
数值实验4.1 算法的设计和性能比较研究 243
数值实验4.2 Newton法收敛域的结构和局部收敛性 243
数值实验4.3 一般迭代格式的复杂行为 244
数值实验4.4 非线性方程组的数值求解 244
第五章 矩阵特征值问题的数值方法 245
1 矩阵特征值问题的有关基础 245
2 乘幂法与反乘幂法 252
2.1 乘幂法的基本原理 252
2.2 乘幂法的计算格式 256
2.3 加速收敛技术 259
2.4 反乘幂法与Rayleigh商迭代法（RQI） 261
2.5 基于乘幂法的降阶收缩方法 264
3 常用的线性变换工具 266
3.1 正交上三角化变换 266
3.2 Householder反射变换 267
3.3 Givens旋转变换和Schmidt正交化变换 275
4 求解一般矩阵特征值问题的QR方法 281
4.1 基本QR迭代格式 281
4.2 QR方法的收敛性 282
4.3 QR方法的预处理 284
4.4 带平移QR迭代方法 289
5 对称矩阵特征值问题 294
5.1 乘幂法 294
5.2 对称QR方法 296
5.3 Jacobi方法 296
6 问题与探索：Krylov子空间方法的基本思想 301
6.1 求解思想的由来 301
6.2 Arnoldi过程 303
6.3 Lanczos过程 305
本章评述 307
综合习题五 308
数值实验五 312
数值实验5.1 矩阵特征值问题条件数的估计 312
数值实验5.2 QR方法的实施 312
数值实验5.3 对称矩阵特征值问题的不同方法的比较 313
数值实验5.4 Rayleigh-Quotient（RQ）算法 313
第六章 插值及其数值计算 314
1 函数逼近与插值问题 314
2 Lagrange插值 318
2.1 Lagrange插值多项式 318
2.2 Lagrange插值的误差分析 321
2.3 Lagrange反插值 324
2.4 逐次线性插值——Aitken方法 325
3 Newton插值 329
3.1 Newton插值多项式 329
3.2 差商的性质 331
3.3 Newton插值公式 332
3.4 差分与等距节点插值 334
4 Hermite插值 338
5 分段低阶插值 342
6 样条插值 345
6.1 分段三次Hermite插值与样条函数 345
6.2 样条函数的概念 346
6.3 三弯矩方程 348
6.4 三转角方程 352
6.5 三次样条函数的误差与收敛性 354
7 问题与探索 356
7.1 关于Runge现象的数学分析 356
7.2 B-样条基函数 359
本章评述 365
综合习题六 365
数值实验六 369
数值实验6.1 观察Lagrange插值的Runge现象 369
数值实验6.2 不同插值方法的误差 370
数值实验6.3 样条函数插值 370
第七章 函数逼近及其数值计算 372
1 引言 372
2 最优平方逼近 375
2.1 内积空间 375
2.2 最优平方逼近问题及其正则方程 376
2.3 度量矩阵的性质 378
2.4 最优平方逼近的充分性 381
2.5 最优平方逼近的误差 382
3 基于正交多项式的最优平方逼近 384
3.1 多项式空间Pn（x）中的最优平方逼近 384
3.2 正交多项式理论基础 384
3.3 两个重要的正交多项式 388
4 最小二乘逼近——基于数据的函数拟合 400
4.1 最小二乘问题及其基本概念 400
4.2 存在唯一性 404
4.3 线性最小二乘问题的数值性态及计算方法 410
5 最优一致逼近 418
5.1 一致逼近多项式的存在性 418
5.2 最优一致逼近多项式 419
5.3 最优逼近多项式的求法 422
6 问题与探索：非线性最小二乘问题 428
本章评述 431
综合习题七 431
数值实验七 435
数值实验7.1 对Runge函数的最优平方逼近的比较 435
数值实验7.2 探索最小二乘问题的数值不稳定现象（1） 435
数值实验7.3 探索最小二乘问题的数值不稳定现象（2） 436
数值实验7.4 最优平方逼近多项式的收敛 436
第八章 数值积分与数值微分 437
1 数值积分的基本思想 437
2 插值型求积法 441
2.1 插值型求积公式 441
2.2 Newton-Cotes公式 443
2.3 求积公式的收敛性和数值稳定性 448
3 复化求积法 450
3.1 复化梯形公式 450
3.2 复化Simpson公式 452
3.3 复化Cotes公式 453
4 外推积分法和Romberg求积公式 456
4.1 外推法的基本原理 456
4.2 Euler-Maclaurin求和公式 460
4.3 数值积分Romberg公式 463
5 Gauss求积法 467
5.1 引言 467
5.2 Gauss数值求积原理及其性质 469
5.3 几种常用的Gauss求积公式 474
6 重积分的数值计算 480
6.1 矩形区域上的二重梯形公式 480
6.2 矩形区域上的二重Simpson公式 481
7 数值微分 482
7.1 基于插值法的数值微分法 482
7.2 样条插值函数数值微分法 485
7.3 化微分问题为积分问题的数值微分法 486
8 问题与探索：非标准权函数的Gauss求积公式的构造 487
本章评述 488
综合习题八 489
数值实验八 493
数值实验8.1 复化积分法和Gauss积分法的比较 493
数值实验8.2 数值积分法用于积分方程求解 493
数值实验8.3 变步长复化求积公式的比较 494
数值实验8.4 样条插值函数求积法 494
第九章 常微分方程初值问题数值解法 496
1 引言 496
1.1 解析解的理论结果 496
1.2 数值求解的基本思想 497
2 简单的数值方法及其分析 498
2.1 Euler法及其几何解释 498
2.2 Euler法误差分析 500
2.3 其他简单单步法 503
2.4 单步法的局部截断误差与阶 505
3 Runge-Kutta方法 508
3.1 Taylor级数法 508
3.2 RK方法的构造 510
3.3 二阶显式RK方法 511
3.4 三阶与四阶显式RK方法 512
4 单步法的收敛性与稳定性 516
4.1 收敛性与相容性 516
4.2 整体截断误差估计及其应用 519
4.3 绝对稳定性与绝对稳定区域 521
5 线性多步法 525
5.1 线性多步法的构造——数值积分法 525
5.2 线性多步法的构造——待定系数法 527
5.3 线性多步法的应用 529
6 方程组和高阶方程 531
6.1 一阶方程组 531
6.2 化高阶方程为一阶方程组 534
7 问题与探索 535
7.1 微分方程的边值问题 535
7.2 边值问题的打靶法 536
7.3 初值问题的差分法 537
7.4 初值问题的动力迭代法 538
本章评述 540
综合习题九 540
数值实验九 542
数值实验9.1 观察显式Euler法的数值不稳定性 542
数值实验9.2 观察当解不光滑时数值方法的收敛性 542
数值实验9.3 掌握外推技巧 542
数值实验9.4 体会变步长的优点 542
数值实验9.5 边值问题的数值方法 543
数值实验9.6 简单的捕食模型 543
主要参考文献 545