第一章 前言 1
1.1 引言 1
1.2 Lax可积方程的求解 1
1.3 本文的选题和主要工作 9
第二章 一类Lax可积的非线性发展方程族的导出 11
2.1 KdV系统的方程族的导出 11
2.2 mKdV系统的方程族和sine-Gordon系统的方程族的导出 14
2.2.1 mKdV系统的方程族的导出 14
2.2.2 sine-Gordon系统的方程族的导出 18
2.3 AKNS系统的方程族的导出及约化 21
2.3.1 AKNS系统方程族的导出 21
2.3.2 AKNS系统的方程族的约化 26
第三章 KdV系统的方程族的解 29
3.1 正散射问题 30
3.1.1 特征函数的性质 30
3.1.2 反射系数与穿透系数 34
3.1.3 谱的分布 35
3.2 反散射问题 38
3.2.1 平移变换与GLM积分方程 38
3.2.2 散射数据随时间的演化关系 43
3.3 KdV系统方程族的类孤子解 48
3.3.1 KdV系统方程族的类孤子解 48
3.3.2 约化为等谱KdV方程族的解 49
3.3.3 约化为非等谱KdV方程族的解 50
3.3.4 约化为τ方程族的解 51
3.4 解的性质 52
3.4.1 非等谱KdV方程解的性质 52
3.4.2 τ方程解的性质 56
第四章 AKNS系统方程族的类孤子解 58
4.1 正散射问题 58
4.1.1 特征函数的性质 59
4.1.2 反射系数和穿透系数 63
4.1.3 谱的分布 64
4.2 反散射问题 68
4.2.1 平移变换与GLM积分方程 68
4.2.2 散射数据随时间的演化规律 74
4.3 AKNS系统方程族的精确解 78
4.4 约化 83
4.4.1 约化为等谱AKNS方程族、非等谱AKNS方程族以及τ方程族的解 83
4.4.2 约化为mKdV系统方程族和KdV系统方程族的解 87
4.4.3 约化为非线性Schr？dinger系统方程族的解 91
4.4.4 约化为sine-Gordon系统方程族的解 93
第五章 一些非线性发展方程的双线性形式和Wronskian形式解 95
5.1 双线性导数和Wronski行列式 95
5.1.1 双线性导数的定义及性质 95
5.1.2 Wronski行列式的定义与性质 96
5.1.3 双Wronski行列式的定义 99
5.2 非等谱sine-Gordon方程的解 99
5.2.1 双线性导数形式的解 99
5.2.2 Wronskian形式的解 103
5.2.3 解的性质 105
5.3 非等谱非线性Schr？dinger方程的解 110
5.3.1 双线性形式的解 110
5.3.2 双Wronskian形式的解 115
5.3.3 推广的双Wronskian解 120
5.3.4 解的性质 124
5.4 KdV系统的τ方程的解 128
5.5 mKdV系统的τ方程的解 131
5.6 非线性Schr？dinger系统的τ方程的解 133
5.7 sine-Gordon系统的τ方程的解 136
第六章 一阶非等谱方程族与等谱方程族之间规范变换 140
6.1 规范变换简介 140
6.2 一阶非等谱方程族与等谱方程族 141
6.3 一阶非等谱方程族和等谱方程族之间的关系 143
6.4 一阶非等谱方程族和等谱方程族之间转换算子 145
参考文献 148
博士期间科研成果 159
致谢 161