第1讲 希尔伯特第三问题：代数与几何结合的典范 1
1.1 科学的任务 1
1.2 从勾股定理到面积剖分法 1
1.3 希尔伯特第三问题 7
1.4 Dehn不变量方法 9
参考文献 13
第2讲 整数中的若干定理 14
2.1 欧拉二平方和分解 14
2.2 拉格朗日四平方和定理 16
2.3 高斯三平方和定理 17
2.4 天衣无缝、难以置信 21
2.5 一个成功的小数推断 21
参考文献 31
第3讲 完美的数系宇宙：合成代数分类与Hurwitz定理 32
3.1 数系的核心：康托尔不可数定理 32
3.2 Frobenius定理：三元数系不存在 33
3.3 合成代数分类与Hurwitz定理 37
3.4 希尔伯特第17问题：正定函数表为平方和 44
3.5 几何连续性与极限完备性等价 48
参考文献 51
第4讲 从圆锥曲线到射影几何 52
4.1 圆锥曲线作为圆的中心射影 52
4.2 射影变换的基本性质 54
4.3 对偶原理与对偶定理 59
4.4 特例原理的进一步应用：笛沙格定理 63
4.5 调和分割与仅用直尺的作图 65
参考文献 70
第5讲 处于交汇点的数学 71
5.1 欧拉多面体定理：作为三角形内角和定理的推广 71
5.2 基本群与同伦型 72
5.3 单复形与同调群 79
5.4 闭曲面分类定理 84
5.5 几何、代数与分析的交汇点 91
参考文献 94
第6讲 欧拉的数学直觉 95
6.1 级数求和中的直观方法 95
6.2 欧拉“圆函数”公式 102
6.3 圆函数公式的应用：弱Dirichlet定理证明 104
6.4 费马问题的欧拉方法 107
6.5 欧拉方法与高斯方法的对比 109
6.6 欧拉是我们所有人的老师，e是所有数的老师 112
参考文献 116
第7讲 几何直观 118
7.1 直觉本能：看出来的证明 118
7.2 刘徽的直观构形 127
7.3 空间维数的应用 131
7.4 维度的区别：折纸实现的几何作图 136
7.5 e的无理性：几何途径 145
参考文献 146
第8讲 模式直观在数学证明中的作用 147
8.1 代数推理中的模式直观 147
8.2 形式符号代数演算的认识论价值 161
8.3 原始归纳与数字式证明 166
8.4 直觉推理与演绎推理 170
8.5 归纳思维与范畴扩充 172
参考文献 178
第9讲 几何对称与代数对称 180
9.1 几何图形的对称 180
9.2 方程根的对称性 185
9.3 三、四次方程求解 187
9.4 高斯已经接近Galois群：17次单位根的代数表达 190
9.5 不可解方程 192
参考文献 197
第10讲 群与Goldbach猜想 198
10.1 Goldbach猜想与群论的关系 198
10.2 置换群与线性群中的单位根 199
10.3 等价性定理 202
10.4 晶体约束 202
10.5 Morley定理的群论证法 203
参考文献 207