引子 1
第一章 科学的根源 5
1.1探寻世界的成因 5
1.2数学真理 6
1.3柏拉图的数学世界“真实”吗？ 8
1.4三个世界与三重奥秘 12
1.5善、真、美 15
第二章 古代定理和现代问题 17
2.1毕达哥拉斯定理 17
2.2欧几里得公设 19
2.3毕达哥拉斯定理的相似面积证明 21
2.4双曲几何：共形图像 22
2.5双曲几何的其他表示 25
2.6双曲几何的历史渊源 29
2.7与物理空间的关系 31
第三章 物理世界里数的种类 35
3.1毕达哥拉斯灾难？ 35
3.2实数系 37
3.3物理世界里的实数 41
3.4自然数需要物理世界吗？ 43
3.5物理世界里的离散数 44
第四章 奇幻的复数 48
4.1魔数“i” 48
4.2用复数解方程 50
4.3幂级数的收敛 52
4.4韦塞尔复平面 55
4.5如何构造曼德布罗特集 56
第五章 对数、幂和根的几何 58
5.1复代数几何 58
5.2复对数概念 61
5.3多值性，自然对数 62
5.4复数幂 65
5.5与现代粒子物理学的某些关联 68
第六章 实数微积分 71
6.1如何构造实函数？ 71
6.2函数的斜率 73
6.3高阶导数；C∞光滑函数 75
6.4“欧拉的”函数概念 77
6.5微分法则 79
6.6积分 81
第七章 复数微积分 85
7.1复光滑，全纯函数 85
7.2周线积分 86
7.3复光滑幂级数 88
7.4解析延拓 90
第八章 黎曼曲面和复映射 94
8.1黎曼曲面概念 94
8.2共形映射 97
8.3黎曼球面 99
8.4紧黎曼曲面的亏格 101
8.5黎曼映射定理 104
第九章 傅里叶分解和超函数 107
9.1傅里叶级数 107
9.2圆上的函数 111
9.3黎曼球面上的频率剖分 113
9.4傅里叶变换 115
9.5傅里叶变换的频率剖分 117
9.6哪种函数是适当的？ 119
9.7超函数 121
第十章 曲面 127
10.1复维和实维 127
10.2光滑，偏导数 128
10.3矢量场和1形式 131
10.4分量，标量积 135
10.5柯西-黎曼方程 137
第十一章 超复数 141
11.1四元数代数 141
11.2四元数的物理角色 143
11.3四元数几何 145
11.4转动如何叠加 147
11.5克利福德代数 149
11.6格拉斯曼代数 151
第十二章 n维流形 155
12.1为什么要研究高维流形？ 155
12.2流形与坐标拼块 158
12.3标量、矢量和余矢量 159
12.4格拉斯曼积 163
12.5形式的积分 164
12.6外导数 165
12.7体积元，求和规则 169
12.8张量：抽象指标记法和图示记法 171
12.9复流形 172
第十三章 对称群 177
13.1变换群 177
13.2子群和单群 180
13.3线性变换和矩阵 183
13.4行列式和迹 187
13.5本征值与本征矢量 189
13.6表示理论与李代数 191
13.7张量表示空间；可约性 194
13.8正交群 197
13.9酉群 202
13.10辛群 206
第十四章 流形上的微积分 211
14.1流形上的微分 211
14.2平行移动 212
14.3协变导数 215
14.4曲率和挠率 217
14.5测地线、平行四边形和曲率 219
14.6李导数 224
14.7度规能为你做什么？ 229
14.8辛流形 232
第十五章 纤维丛和规范联络 235
15.1纤维丛的物理背景 235
15.2丛的数学思想 237
15.3丛的截面 240
15.4克利福德丛 242
15.5复矢量丛，（余）切丛 244
15.6射影空间 246
15.7丛联络的非平凡性 250
15.8丛曲率 253
第十六章 无限的阶梯 258
16.1有限域 258
16.2物理上需要的是有限还是无限几何？ 260
16.3无限的不同大小 263
16.4康托尔对角线法 265
16.5数学基础方面的难题 268
16.6图灵机和哥德尔定理 270
16.7物理学中无限的大小 273
第十七章 时空 276
17.1亚里士多德物理学的时空 276
17.2伽利略原理下的时空相对性 278
17.3时空的牛顿动力学 279
17.4等效原理 281
17.5嘉当的“牛顿时空” 284
17.6确定不变的有限光速 288
17.7光锥 289
17.8放弃绝对时间 291
17.9爱因斯坦广义相对论的时空 294
第十八章 闵可夫斯基几何 297
18.1欧几里得型与闵可夫斯基型四维空间 297
18.2闵可夫斯基空间的对称群 300
18.3洛伦兹正交性；“时钟悖论” 301
18.4闵可夫斯基空间的双曲几何 304
18.5作为黎曼球面的天球 309
18.6牛顿能量和（角）动量 312
18.7相对论性能量和（角）动量 313
第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场 318
19.1背离牛顿动力学的演化 318
19.2麦克斯韦电磁场理论 319
19.3麦克斯韦理论中的守恒律和通量定律 323
19.4作为规范曲率的麦克斯韦场 325
19.5能量动量张量 329
19.6爱因斯坦场方程 332
19.7进一步的问题：宇宙学常数；外尔张量 334
19.8引力场能量 336
第二十章 拉格朗日量和哈密顿量 341
20.1神奇的拉格朗日形式体系 341
20.2更为对称的哈密顿图像 344
20.3小振动 346
20.4辛几何的哈密顿动力学 350
20.5场的拉格朗日处理 352
20.6如何从拉格朗日量导出现代理论？ 354
第二十一章 量子粒子 357
21.1非对易变量 357
21.2量子哈密顿量 359
21.3薛定谔方程 360
21.4量子理论的实验背景 362
21.5理解波粒二象性 365
21.6什么是量子“实在”？ 367
21.7波函数的“整体”性质 369
21.8奇怪的“量子跳变” 372
21.9波函数的概率分布 373
21.10位置态 374
21.11动量空间描述 376
第二十二章 量子代数、几何和自旋 380
22.1量子步骤U和R 380
22.2 U的线性性以及它给R带来的问题 382
22.3幺正结构、希尔伯特空间和狄拉克算符 384
22.4幺正演化：薛定谔绘景和海森伯绘景 385
22.5量子“可观察量” 388
22.6 YES/NO测量；投影算符 390
22.7类光测量；螺旋性 392
22.8自旋和旋量 395
22.9二态系统的黎曼球面 398
22.10高自旋：马约拉纳绘景 402
22.11球谐函数 404
22.12相对论性量子角动量 407
22.13一般的孤立量子客体 410
第二十三章 纠缠的量子世界 415
23.1多粒子系统的量子力学 415
23.2巨大的多粒子系统态空间 416
23.3量子纠缠：贝尔不等式 418
23.4玻姆型EPR实验 420
23.5哈迪的EPR事例：几乎与概率无关 423
23.6量子纠缠的两个谜团 424
23.7玻色子和费米子 426
23.8玻色子和费米子的量子态 428
23.9量子隐形传态 429
23.10量子纠缠 432
第二十四章 狄拉克电子和反粒子 437
24.1量子理论与相对论之间的张力 437
24.2为什么反粒子意味着量子场？ 438
24.3量子力学里能量的正定性 439
24.4相对论能量公式的困难 441
24.5 ？/？的非不变性 442
24.6波算符的克利福德-狄拉克平方根 443
24.7狄拉克方程 445
24.8正电子的狄拉克途径 446
第二十五章 粒子物理学的标准模型 450
25.1现代粒子物理学的起源 450
25.2电子的zigzag图像 451
25.3电弱相互作用；反射不对称性 454
25.4正反共轭、宇称和时间反演 458
25.5电弱对称群 460
25.6强相互作用粒子 462
25.7“色夸克” 465
25.8超越标准模型？ 467
第二十六章 量子场论 471
26.1量子场论在现代物理中的基础地位 471
26.2产生算符和湮没算符 472
26.3无穷维代数 474
26.4量子场论中的反粒子 476
26.5备择真空 477
26.6相互作用：拉格朗日量和路径积分 478
26.7发散的路径积分：费恩曼响应 481
26.8构建费恩曼图；S矩阵 483
26.9重正化 485
26.10拉格朗日量的费恩曼图 488
26.11费恩曼图和真空选择 489
第二十七章 大爆炸及其热力学传奇 493
27.1动力学演化的时间对称性 493
27.2亚微观成分 494
27.3熵 495
27.4熵概念的鲁棒性 497
27.5第二定律的导出 499
27.6整个宇宙可看作一个“孤立系统”吗？ 502
27.7大爆炸的角色 503
27.8黑洞 507
27.9事件视界与时空奇点 510
27.10黑洞熵 512
27.11宇宙学 514
27.12共形图 518
27.13异乎寻常的特殊大爆炸 521
第二十八章 早期宇宙的推测性理论 527
28.1早期宇宙的自发对称破缺 527
28.2宇宙的拓扑缺陷 529
28.3早期宇宙的对称性破缺问题 532
28.4暴胀宇宙学 535
28.5暴胀的动机有效吗？ 539
28.6人存原理 542
28.7大爆炸的特殊性质：人存是关键？ 545
28.8外尔曲率假说 548
28.9哈特尔-霍金的“无界”假说 550
28.10宇宙学参数：观察的地位？ 552
第二十九章 测量疑难 560
29.1量子理论的传统本体论 560
29.2量子理论的非传统本体论 562
29.3密度矩阵 566
29.4自旋1/2的密度矩阵：布洛赫球 568
29.5 EPR状态的密度矩阵 571
29.6环境退相关的FAPP哲学 575
29.7“哥本哈根”本体论的薛定谔猫 576
29.8其他传统本体论能够解决“猫”佯谬吗？ 578
29.9哪一种非传统本体论有助于解决问题？ 580
第三十章 量子态收缩中的引力角色 584
30.1当今的量子理论在此适用吗？ 584
30.2来自宇宙学时间不对称的线索 585
30.3量子态收缩的时间不对称性 586
30.4霍金的黑洞温度 589
30.5源自复周期性的黑洞温度 592
30.6基灵矢量，能量流——时间旅行！ 596
30.7来自负能量途径的能量流 598
30.8霍金爆炸 600
30.9更激进的观点 603
30.10薛定谔团块 605
30.11与爱因斯坦原理的基本冲突 608
30.12优先的薛定谔-牛顿态？ 610
30.13 FELIX及其相关理论 612
30.14早期宇宙涨落的起源 615
第三十一章 超对称、超维和弦 621
31.1令人费解的参数 621
31.2超对称 624
31.3超对称代数和几何 626
31.4高维时空 629
31.5原初的强子弦论 631
31.6极品弦论 634
31.7额外时空维的弦动机 636
31.8作为量子引力理论的弦论？ 637
31.9弦动力学 639
31.10为什么我们看不见额外的空间维？ 640
31.11我们应当接受量子稳定性论证吗？ 644
31.12额外维的经典不稳定性 646
31.13弦量子场论是有限的吗？ 647
31.14神奇的卡拉比-丘空间；M理论 649
31.15 弦与黑洞熵 653
31.16“全息原理” 655
31.17 D膜观点 657
31.18弦论的物理学地位？ 659
第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量 666
32.1正则量子引力 666
32.2阿什台卡变量的手征输入 667
32.3阿什台卡变量的形式 669
32.4圈变量 671
32.5结与链的数学 673
32.6自旋网络 675
32.7圈量子引力的地位 679
第三十三章 更彻底的观点；扭量理论 683
33.1几何上具有离散元素的理论 683
33.2作为光线的扭量 686
33.3共形群、紧化闵可夫斯基空间 690
33.4作为高维旋量的扭量 693
33.5基本扭量几何及其坐标 694
33.6作为无质量自旋粒子的扭量的几何 697
33.7扭量量子论 700
33.8无质量场的扭量描述 702
33.9扭量层上同调 704
33.10扭量与正/负频率剖分 708
33.11非线性引力子 709
33.12扭量与广义相对论 713
33.13面向粒子物理的扭量理论 714
33.14扭量理论的未来 715
第三十四章 实在之路通向何方 720
34.1 20世纪物理学的伟大理论及其超越？ 720
34.2数学推动下的基础物理学 722
34.3物理理论中时尚的作用 725
34.4错误理论能被实验驳倒吗？ 727
34.5下一次物理学革命会来自何处？ 730
34.6什么是实在？ 732
34.7心智在物理理论中的作用 733
34.8通向实在的漫长的数学之路 736
34.9美和奇迹 739
34.10艰深的问题回答了，更深的问题又形成了 742
尾声 746
名词索引 748
致谢 759
文献目录 761
译后记 797