第一章 绪论 1
1数值分析的对象与特点 1
2误差来源与误差分析的重要性 2
3误差的基本概念 5
3—1误差与误差限 5
3—2相对误差与相对误差限 6
3—3有效数字 7
4数值运算中误差分析的若干原则 10
习题 15
第二章 插值法 18
1引言 18
2拉格朗日插值 20
2—1插值多项式的存在唯一性 20
2—2线性插值与抛物插值 21
2—3拉格朗日插值多项式 25
2—4插值余项 26
3埃特金逐步插值与牛顿插值公式 30
3—1埃特金逐步插值 30
3—2均差与牛顿插值公式 33
3—3牛顿插值多项式余项 35
4差分与等距节点插值公式 37
4—1差分及其性质 37
4—2等距节点插值公式 40
5埃尔米特插值 43
6插值过程的收敛性与稳定性 47
7分段线性插值 54
8分段三次埃尔米特插道 57
9三次样条插值 60
9—1三次样条函数 61
9—2三转角方程 62
9—3三弯矩方程 66
9—4计算步骤与例题 67
10三次样条插值的稳定性与收敛性 68
习题 75
第三章 函数逼近与计算 80
1引言与预备知识 80
1—1问题的提出 80
1—2维尔斯特拉斯定理 81
1—3连续函数空向C〔a、b〕 83
2最佳一致逼近多项式 84
2—1最佳一致逼近多项式的存在性 84
2—2切比雪夫定理 87
2—3最佳一次逼近多项式 90
2—4里米兹算法 92
3切比雪夫多项式 93
3—1切比雪夫多项式定义与性质 94
3—2拉格朗日插值余项的极小化 99
3—3幂级数项数的节约 102
4最佳平方逼近 104
4—1预备知识 105
4—2函数的最佳平方逼近 109
4—3用正交函数族作平方逼近 112
5正交多项式 114
5—1勒让德多项式 115
5—2用勒让德多项式作平方逼近 119
5—3其他常用的正交多项式 121
6函数按切比雪夫多项式展开 122
7曲线拟合的最小二乘法 126
7—1什么是最小二乘法 126
7—2用正交函数作最小二乘拟合 135
8离散富氏变换及其快速算法 138
8—1三角函数插值与离散富氏变换 138
8—2频谱分析与频率数字滤波 141
8—3快速富氏变换（FFT） 144
习题 153
第四章 数值积分与数值微分 158
1引言 158
1—1数值求积的基本思想 158
1—2代数精度的概念 160
1—3插值型的求积公式 161
2牛顿一柯特斯公式 163
2—1柯特斯系数 163
2—2偶阶求积公式的代数精度 166
2—3几种抵阶求积公式的余项 168
2—4复化求积法及其收敛性 169
3龙贝格算法 174
3—1梯形法的递推化 174
3—2龙贝格公式 176
3—3李查逊外推加速法 179
3—4梯形法的余项展开式 182
4高斯公式 187
4—1问题的提出 187
4—2高斯点 190
4—3高斯一勒让德公式 192
4—4高斯公式的余项 193
4—5高斯公式的收敛性与稳定性 194
4—6带权的高斯公式 198
5样条求积 200
6数值微分 203
6—1中点方法 203
6—2中点方法的加速 206
6—3插值型的求导公式 207
6—4实用的五点公式 210
6—5样条求导 212
第五章 常微分方程数值解法 220
1引言 220
2尤拉方法 221
2—1尤拉公式 221
2—2后退的尤拉公式 223
2—3梯形公式 226
2—4改进的尤拉公式 227
2—5尤拉两步公式 229
3龙格一库塔方法 232
3—1台劳级数法 232
3—2龙格一库塔方法的基本思想 234
3—3二阶龙格—库塔方法 235
3—4三阶龙格—库塔方法 237
3—5四阶龙格—库塔方法 240
3—6变步长的龙格—库塔方法 243
4单步法的收敛性和稳定性 245
4—1单步法的收敛性 245
4—2单步法的稳定性 248
5线性多步法 252
5—1基于数值积分的构造方法 252
5—2亚当姆斯显式公式 254
5—3亚当姆斯隐式公式 255
5—4亚当姆斯预测—校正系统 257
5—5基于台劳展开的构造方法 261
5—6米尔尼公式 264
5—7哈明公式 265
6多步法的收敛性和稳定性 266
6—1线性差分方程解的结构 266
6—2多步法的稳定性 268
6—3多步法的收敛性 271
7方程组与高阶方程的情形 273
7—1一阶方程组 273
7—2刚性方程组的概念 275
7—3化高阶方程为一阶方程组 278
7—4特殊的二阶方程 280
8边值问题的数值方法 282
8—1试射法 282
8—2差分方程的建立 283
8—3差分问题的可解性 286
8—4差分方法的收敛性 287
第六章 方程求根 294
1根的搜索 294
1—1逐步搜索法 294
1—2二分法 295
1—3比例求根法 298
2迭代法 300
2—1迭代过程的收敛性 300
2—2迭代公式的加工 307
3牛顿法 310
3—1牛顿公式 310
3—2牛顿法的几何解释 312
3—3牛顿法的局部收敛性 313
3—4牛顿法应用举例 315
3—5牛顿下山法 317
3—6方程组的牛顿法 319
4弦截法与抛物线法 322
4—1弦截法 322
4—2抛物线 328
5代数方程求根 331
5—1多项式求值的秦九韶算法 331
5—2代数方程的牛顿法 333
5—3劈因子法 334
第七章 解线性代数方程组的直接法 342
1引言 342
2高斯消去法 344
2—1高斯消去法 344
2—2矩阵的三角分解 352
2—3计算量 355
3高斯主元素消去法 356
3—1完全主元素消去法 358
3—2列主元素消去法 361
3—3高斯—约当方法求逆矩阵 362
4高斯消去法的变形 368
4—1直接三角分解法 368
4—2平方根法 376
4—3追赶法 384
5向量和矩阵的范数 388
6误差分析 398
6—1矩阵的条件数 398
6—2舍入误差 407
第八章 解线性方程组的迭代法 420
1引言 420
2雅可比迭代法与塞德尔迭代法 424
2—1雅可比迭代法 424
2—2塞德尔迭代法 425
3迭代法的收敛性 428
4解线性代数方程组的逐次超松弛法 438
5解线性代数方程组的梯度法 448
5—1最速下降法 448
5—2共轭梯度法 452
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 475
1引言 475
2幂法及反幂法 478
2—1幂法 478
2—2加速方法 486
2—3反幂法 491
3雅可比方法 496
3—1引言 496
3—2Jacob方法 498
3—3Jacobi过关法 508
4豪斯荷尔德方法 510
4—1初等反射阵及性质 510
4—2用正交相似变换约化矩阵 515
5对称三对角矩阵的特征值计算 524
5—1序列{fk（λ）}是一个sturm序列 525
5—2求对称三对角阵的特征值的二分法 529