第1章 线性方程组 1
1.1线性方程组的解法回顾 1
1.1.1从高斯消元法谈起 1
1.1.2计算复杂性分析 4
1.1.3历史开了个大玩笑 6
1.2矩阵的LU分解 9
1.2.1 LU分解定理 9
1.2.2列选主元法 14
1.2.3特殊矩阵的LU分解 21
1.3数值计算的几个基本概念 27
1.3.1计算机的浮点数系统与舍入误差 27
1.3.2问题的病态性与算法的稳定性 31
1.3.3算法的计算复杂性 34
1.4线性方程组的数值解法概述 37
习题一 39
第2章 线性空间与线性变换 40
2.1从解空间到向量空间 40
2.1.1从齐次线性方程组的求解谈起 40
2.1.2向量空间 41
2.1.3向量空间的历史：前传 45
2.2线性空间 51
2.2.1什么是线性 51
2.2.2线性空间的概念及性质 53
2.2.3线性空间的基、坐标及其变换 56
2.2.4线性空间的同构 61
2.2.5向量空间的历史：狂飙的数学 63
2.3子空间的交与和 73
2.3.1子空间的交与和 73
2.3.2子空间的直和 76
2.4线性变换及其矩阵表示 78
2.4.1几个简单的线性变换 78
2.4.2线性变换及其性质 81
2.4.3线性变换的矩阵表示 86
2.4.4线性变换的不变子空间 93
2.5矩阵的Jordan标准型 96
2.5.1从算术基本定理到Jordan标准型 96
2.5.2 Jordan标准型的简易求法 97
2.5.3 Jordan其人 103
2.6方阵高次幂的计算 104
2.6.1从两个例子说起 104
2.6.2 Jordan分解法 106
2.6.3 Cayley-Hamilton定理及最小多项式 108
习题二 110
第3章 内积空间 115
3.1从向量空间Rn到欧氏空间Rn 115
3.1.1从向量的内积说起 115
3.1.2欧氏空间Rn的标准正交基 117
3.2 QR分解 121
3.2.1再谈Gram-Schmidt方法 121
3.2.2矩阵的QR分解 124
3.3欧氏空间及其标准正交基 128
3.3.1欧氏空间 129
3.3.2欧氏空间的标准正交基 134
3.3.3正交投影定理 139
3.4最小二乘法 140
3.4.1解不相容线性方程组的最小二乘法 140
3.4.2最佳逼近定理及其应用 142
3.5 Householder变换与Givens变换 145
3.5.1正交变换及其矩阵 145
3.5.2求QR分解的Householder变换法 150
3.5.3下蛋的母鸡 153
3.6酉空间、酉变换与酉矩阵 154
习题三 157
第4章 特殊变换及其矩阵 161
4.1正规变换与正规矩阵 161
4.1.1正规变换 161
4.1.2正规矩阵 162
4.2 Hermite变换与Hermite矩阵 168
4.2.1 Hermite变换（Hermite矩阵）的定义和性质 168
4.2.2达到教育的目的是用头脑，又不是用脚 171
4.2.3正定Hermite矩阵 172
4.2.4对称：是可怕的还是可爱的？ 177
4.3投影变换与投影矩阵 179
4.4谱分解的应用 183
4.4.1离散Karhunen-Loeve变换 184
4.4.2主成分分析 185
4.5矩阵的奇异值分解 187
4.5.1从几何观测说起 188
4.5.2由SVD导出的矩阵性质 190
4.5.3 SVD的算法 193
4.5.4 SVD教授 195
4.6矩阵的标准型 197
4.6.1实正规矩阵在正交相似下的标准型 197
4.6.2各种矩阵标准型之间的关系 200
习题四 202
第5章 范数及其应用 205
5.1向量范数 205
5.1.1从绝对值及模说起 205
5.1.2常用的向量范数 206
5.1.3向量范数的几个性质 212
5.2矩阵范数 213
5.2.1矩阵范数的概念 213
5.2.2算子范数及范数的相容性 214
5.2.3矩阵范数的几个性质 219
5.3范数的几个应用 221
5.3.1谱半径与矩阵范数 221
5.3.2线性方程组解与矩阵逆的扰动分析 223
5.3.3矩阵的低秩逼近及其应用 226
5.3.4只要醒着，你就必须思考数学 229
习题五 231
第6章 矩阵分析及其应用 233
6.1矩阵序列与矩阵级数 233
6.1.1矩阵序列 233
6.1.2矩阵级数 238
6.2解线性方程组的古典迭代法 243
6.2.1三种基本迭代法 243
6.2.2敛散性分析 247
6.3解线性方程组的现代迭代法 250
6.3.1共轭梯度法 250
6.3.2子空间迭代法 255
6.3.3那些年，那些事 259
6.4函数矩阵及λ矩阵 262
6.4.1函数矩阵 262
6.4.2 λ矩阵及其Smith标准型 266
6.4.3 Smith标准型的应用 272
6.5矩阵函数及其计算 274
6.5.1矩阵函数的定义及性质 274
6.5.2矩阵函数的计算 279
6.5.3矩阵指数函数的数值计算：krylov子空间法 285
6.6矩阵的微分与积分 286
6.6.1含参矩阵函数的微分与积分 286
6.6.2函数对向量的微分 287
6.6.3矩阵标量函数对矩阵的微分 291
6.6.4矩阵对矩阵的微分 292
6.6.5成于计算，败于算计 294
6.7矩阵函数的应用 295
6.7.1线性常系数微分方程组 295
6.7.2应用Ⅰ：线性定常系统的状态转移矩阵 298
6.7.3矩阵微分方程 299
6.7.4应用Ⅱ：线性时变系统的状态转移矩阵 301
6.7.5应用Ⅲ：线性时变系统的能控性和能观测性 303
习题六 306
第7章 特征值问题 309
7.1特征值的估计 309
7.1.1从特征值问题的稳定性说起 309
7.1.2盖尔定理 310
7.1.3特征值的界 314
7.2多项式特征值问题 315
7.2.1广义特征值问题 316
7.2.2二次特征值问题 321
7.3 Rayleigh商和广义Rayleigh商 325
7.3.1 Rayleigh商 326
7.3.2广义Rayleigh商 328
7.3.3乐在其中的瑞利勋爵 329
7.4特征值问题的数值算法综述 331
7.4.1扰动和敏感性 331
7.4.2幂法与反幂法 333
7.4.3 QR法 334
7.4.4 krylov子空间法 336
7.4.5 Jacobi-Davidson法 338
7.4.6兰乔斯先生，请您压阵 339
习题七 341
习题答案与提示 342
参考文献 362