第1章Banach空间微分学 1
1.1 Banach空间 1
1.1.1 Banach空间与线性算子理论概要 1
1.1.2 Sobolev空间与嵌入定理 11
1.1.3半序Banach空间与锥 17
1.2非线性映射的连续性与有界性 24
1.2.1连续性与有界性 24
1.2.2泛函的极值 25
1.2.3 Nemytski算子 28
1.3 Gateaux导数与Frechet导数 31
1.3.1抽象函数的积分与微分 31
1.3.2 Gateaux导数 34
1.3.3 Frechet导数 36
1.3.4 Nemytski算子及一类泛函的可微性 40
1.3.5高阶导数与Taylor公式 46
1.4全连续映射与变分框架 50
1.4.1全连续映射及其性质 51
1.4.2变分框架 54
1.5常微分方程初值问题 57
1.5.1局部可解性 58
1.5.2解的全局存在定理 59
1.6隐函数定理 60
1.6.1反函数定理 60
1.6.2隐函数定理 62
1.6.3广义反函数定理 65
1.7分歧与Lyapunov-Schmidt约化 67
1.7.1分歧初步 67
1.7.2 Lyapunov-Schmidt约化 72
1.7.3 Newton迭代程序 76
1.7.4小分母问题 78
1.8 Hilbert微分流形概要 81
第1章习题 84
第2章 拓扑方法 86
2.1 Brouwer度与不动点定理 86
2.1.1 Brouwer度的定义 87
2.1.2 Brouwer度的性质 94
2.1.3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理 100
2.2 Leray-Schauder度与不动点定理 105
2.2.1 Leray-Schauder度的定义 106
2.2.2 Leray-Schauder度的性质 108
2.2.3 Leray-Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广 112
2.3拓扑度理论的应用 116
2.3.1 Banach空间中的常微分方程初值问题 116
2.3.2半线性椭圆方程的Dirichlet问题 118
2.4增算子与上、下解方法 124
2.4.1上、下解与单调迭代 124
2.4.2上、下解的存在性 125
2.5锥映射的拓扑度 128
2.5.1锥映射拓扑度的建立 128
2.5.2锥映射拓扑度的性质 130
2.5.3多重正解的存在性 132
第2章习题 133
第3章 变分方法 136
3.1约束极值与近似极值 136
3.1.1约束极值 136
3.1.2近似极值与Ekeland变分原理 141
3.2形变引理 144
3.2.1下降流线与伪梯度向量场 145
3.2.2形变引理 148
3.3极小极大原理与鞍点定理 151
3.3.1极小极大原理 151
3.3.2环绕（link） 153
3.3.3 Z2指标与S1指标理论 159
3.3.4畴数 165
3.4临界点定理应用 170
3.4.1山路引理在椭圆型边值问题中的应用 170
3.4.2环绕在二阶周期系统中的应用 173
3.4.3 Z2指标在椭圆边值问题中的应用 175
3.5当前变分方法研究的几点注记 176
3.5.1变分方法和非线性偏微分方程 177
3.5.2 强不定问题 180
3.5.3 Kirchhoff问题 182
第3章习题 183
参考文献 186
附录 关于矩阵特征值代数重数与几何重数的注记 193