Ⅰ偏微分方程解的渐近行为 1
1热传导方程解靠近时间无穷远的渐近行为 3
1.1解靠近时间无穷远的渐近行为 3
1.1.1解的衰减估计 6
1.1.2Lp-Lq估计 8
1.1.3导数的Lp-Lq估计 8
1.1.4时间无穷远附近的渐近行为之定理 10
1.1.5使用解的表现式证明 10
1.1.6积分形式的均值定理 12
1.2方程之结构和自相似解 13
1.2.1尺度伸缩变换下的不变性 13
1.2.2热传导方程之守恒量 14
1.2.3尺度伸缩变换保持守恒量 15
1.2.4总结：尺度伸缩变换的性质 15
1.2.5自相似解 16
1.2.6使用尺度伸缩变换的渐近公式之表达式 16
1.2.7根据尺度伸缩变换之证明的思路 17
1.3紧致性 17
1.3.1连续函数组成的函数族 19
1.3.2Ascoli-Arzela类型的紧致性定理 21
1.3.3尺度伸缩函数族的相对紧致性 21
1.3.4空间变量的衰减估计 24
1.3.5收敛子序列的存在性 26
1.3.6引理 26
1.4极限函数之刻划 26
1.4.1初值的极限 27
1.4.2热传导方程初值问题的弱形式 28
1.4.3初值问题之弱解 29
1.4.4热传导方程解序列的极限 30
1.4.5尺度伸缩函数族之极限的刻划 32
1.4.6初始值是delta函数的唯一性定理 32
1.4.7渐近公式（1.9）证明之完成：根据尺度伸缩变换 33
1.4.8唯一性定理的注解 34
2涡度方程的解在时间无穷远附近的行为 37
2.1Navier-Stokes方程与涡度方程 38
2.1.1涡度 39
2.1.2涡度与速度 40
2.1.3Biot-Savart定律 41
2.1.4涡度方程的推导 42
2.2时间无穷远附近的渐近行为 42
2.2.1唯一存在定理 42
2.2.2涡度的渐近行为定理 43
2.2.3尺度伸缩不变 44
2.2.4总环流量的守恒 45
2.2.5旋转对称的自相似解 46
2.3具传输项之热传导方程解的整体Lq-L1估计 47
2.3.1基本Lq-Lr估计 47
2.3.2每次改变Lr-范数的比例：积分等式 48
2.3.3L1-范数的非递减性 49
2.3.4Nash不等式的应用 50
2.3.5基本Lq-L1估计的证明 52
2.3.6基本Lq-L1估计之推广 54
2.3.7最大值原理 55
2.3.8非负性的保持 56
2.4涡度方程解的估计 57
2.4.1涡度和速度的估计 58
2.4.2涡度导数的估计 62
2.4.3涡度在空间变量的衰减估计 67
2.5渐近公式的证明 71
2.5.1作为弱解的极限函数之刻划 73
2.5.2极限函数的估计 76
2.5.3弱解满足的积分方程 80
2.5.4极限方程解的唯一性 81
2.5.5完成渐近公式之证明 83
2.6Burgers涡旋的形成 83
2.6.1收敛到Burgers涡旋 85
2.6.2非对称的Burgers涡旋 87
2.7Navier-Stokes方程及相关主题的自相似解 88
2.7.1涡度的渐近行为研究之简史 88
2.7.2解的存在性问题 91
2.7.3自相似解 92
2.8对于大环流之极限方程的唯一性 96
2.8.1弱解的唯一性 96
2.8.2相对熵 97
2.8.3熵的有界性 99
2.8.4重尺度伸缩变换 99
2.8.5唯一性定理的证明 100
2.8.6关于涡度的渐近行为之注解 101
3各种方程的自相似解 103
3.1多孔介质方程 103
3.1.1保持总质量的自相似解 105
3.1.2弱解 106
3.1.3渐近公式 107
3.2向后自相似解的角色 107
3.2.1轴对称平均曲率流方程 108
3.2.2向后自相似解和相似变数 109
3.2.3非平凡自相似解的不存在性 112
3.2.4解在捏点附近的渐近行为 114
3.2.5单调公式 119
3.2.6半线性热传导方程和调和映射流方程 123
3.3非扩散型方程 127
3.3.1非线性Schrodinger方程 127
3.3.2KdV方程 129
3.4附注和评论 131
3.4.1先验上界 131
3.4.2向前自相似解的相关结果 132
Ⅱ有用的解析工具 137
4热传导方程解的各种性质 139
4.1卷积、Young不等式与Lp-Lq估计 140
4.1.1Young不等式 140
4.1.2Lp-Lq估计的证明 143
4.1.3卷积的代数性质 143
4.1.4微分和卷积的交换 144
4.1.5极限和微分的交换 147
4.1.6热传导方程解的平滑性 148
4.2热传导方程的初始值 148
4.2.1收敛到初始值 149
4.2.2一致连续性 149
4.2.3收敛定理 149
4.2.4系 151
4.2.5收敛定理4.2.3的应用 151
4.3非齐次热传导方程 152
4.3.1解的表现式 153
4.3.2非齐次方程的解：初始值为零的情形 154
4.3.3非齐次方程的解：一般情形 158
4.3.4在t＝0的奇异非齐次项 158
4.4热传导方程解的唯一性 162
4.4.1唯一性定理1.4.6的证明 162
4.4.2基本的唯一性定理 162
4.4.3非齐次方程 165
4.4.4具有传输项热传导方程的唯一可解性 166
4.4.5基本解和它们的性质 172
4.5分部积分法 175
4.5.1全空间之分部积分的一个例子 176
4.5.2全空间的散度定理 177
4.5.3有界区域的分部积分 177
5紧致性定理 179
5.1紧致的定义域 179
5.1.1Ascoli-Arzela定理 179
5.1.2紧致嵌入 182
5.2非紧致定义域 183
5.2.1Ascoli-Arzela型紧致定理 183
5.2.2子序列的构造 184
5.2.3等程度衰减与一致收敛 184
5.2.4引理1.3.6的证明 185
5.2.5高阶导数的收敛 185
6微积分不等式 187
6.1Gagliardo-Nirenberg不等式与Nash不等式 188
6.1.1Gagliardo-Nirenberg不等式 188
6.1.2Nash不等式 189
6.1.3Nash不等式的证明 189
6.1.4Gagliardo-Nirenberg不等式的证明（σ＜1的情形） 192
6.1.5关于证明的注解 197
6.1.6关于假设（6.3）的一个注解 197
6.2Riesz位势的有界性 198
6.2.1Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 198
6.2.2分配函数与Lp-可积性 199
6.2.3Lorentz空间 200
6.2.4Marcinkiewicz插值定理 201
6.2.5Riesz位势的高斯核表现式 207
6.2.6Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的证明 208
6.2.7证明之完成 210
6.3Sobolev不等式 210
6.3.1Laplace的反元素（n≥3） 210
6.3.2Laplace的反元素（n＝2） 212
6.3.3Sobolev不等式的证明（r＞1） 214
6.3.4Sobolev不等式的基本证明（r＝1） 215
6.3.5牛顿位 217
6.3.6积分符号后微分之注解 220
6.4奇异积分算子的有界性 221
6.4.1立方体分解 221
6.4.2Calderon-Zygmund不等式 223
6.4.3L2有界性 225
6.4.4弱L1估计 226
6.4.5证明之完成 232
6.5注释和评论 233
7积分理论的收敛定理 237
7.1积分与极限运算之互换 237
7.1.1控制收敛定理 238
7.1.2Fatou引理 240
7.1.3单调收敛定理 240
7.1.4Riemann积分的收敛性 241
7.2积分与微分的交换 241
7.2.1积分符号后微分 242
7.2.2积分顺序的交换 243
7.3有界延拓 243
习题解答 247
参考著作之补充评论 273
词汇表 275
References 279
Index 301