上篇 基础篇 3
第1章 矩阵的几何理论 3
引言 矩阵是什么 3
1.1线性空间上的线性算子与矩阵 3
1.1.1线性空间 3
习题1（1） 18
1.1.2线性算子及其矩阵 23
习题1（2） 54
1.2内积空间上的等积变换 62
1.2.1内积空间 63
习题1（3） 73
1.2.2等积变换及其矩阵 77
习题1（4） 96
1.3埃尔米特变换及其矩阵 99
1.3.1对称变换与埃尔米特变换 100
1.3.2埃尔米特正定、半正定矩阵 102
1.3.3矩阵不等式 105
1.3.4埃尔米特矩阵特征值的性质 107
1.3.5一般的复正定矩阵 109
习题1（5） 110
第2章 λ矩阵与若尔当标准形 113
引言 什么是矩阵标准形 113
2.1 λ矩阵 113
2.1.1 λ矩阵的概念 113
2.1.2 λ矩阵在相抵下的标准形 116
2.1.3不变因子与初等因子 118
2.2若尔当标准形 129
2.2.1数字矩阵化为相似的若尔当标准形 129
2.2.2若尔当标准形的其他求法 140
习题2 147
第3章 矩阵的分解 154
引言 矩阵分解的意义 154
3.1矩阵的三角分解 154
3.1.1消元过程的矩阵描述 154
3.1.2矩阵的三角分解 157
3.1.3常用的三角分解公式 162
3.2矩阵的QR（正交三角）分解 167
3.2.1 QR分解的概念 167
3.2.2 QR分解的实际求法 170
3.3矩阵的最大秩分解 176
3.4矩阵的奇异值分解和极分解 180
3.5矩阵的谱分解 184
3.5.1正规矩阵 184
3.5.2正规矩阵的谱分解 186
3.5.3单纯矩阵的谱分解 189
习题3 192
第4章 赋范线性空间与矩阵范数 198
引言 范数是什么 198
4.1赋范线性空间 198
4.1.1向量的范数 198
4.1.2向量范数的性质 204
习题4（1） 206
4.2矩阵的范数 208
4.2.1矩阵范数的定义与性质 208
4.2.2算子范数 210
4.2.3谱范数的性质和谱半径 215
习题4（2） 217
4.3摄动分析与矩阵的条件数 220
4.3.1病态方程组与病态矩阵 220
4.3.2矩阵的条件数 221
4.3.3矩阵特征值的摄动分析 224
习题4（3） 228
下篇 应用篇 233
第5章 矩阵微积分及其应用 233
引言 讨论矩阵微积分的必要性 233
5.1向量序列和矩阵序列的极限 233
5.1.1向量序列的极限 233
5.1.2矩阵序列的极限 235
5.2矩阵级数与矩阵函数 238
5.2.1矩阵级数 238
5.2.2矩阵函数 245
5.3函数矩阵的微分和积分 254
5.3.1函数矩阵对实变量的导数 254
5.3.2函数矩阵特殊的导数 258
5.3.3矩阵的全微分 262
5.3.4函数矩阵的积分 264
5.4矩阵微分方程 265
5.4.1常系数齐次线性微分方程组的解 266
5.4.2常系数非齐次线性微分方程组的解 270
5.4.3 n阶常系数微分方程的解 274
习题5 277
第6章 广义逆矩阵及其应用 286
引言 什么是广义逆矩阵 286
6.1矩阵的几种广义逆 286
6.1.1广义逆矩阵的基本概念 286
6.1.2减号逆A- 287
6.1.3自反减号逆A-r 290
6.1.4最小范数广义逆A-m 295
6.1.5最小二乘广义逆A-1 299
6.1.6加号逆A+ 300
6.2广义逆在解线性方程组中的应用 306
6.2.1线性方程组求解问题的提法 306
6.2.2相容方程组的通解与A- 307
6.2.3相容方程组的极小范数解与A-m 309
6.2.4矛盾方程组的最小二乘解与A-1 312
6.2.5线性方程组的极小最小二乘解与A+ 317
习题6 318
第7章 几类特殊矩阵与特殊积 323
引言 什么是特殊矩阵与特殊积 323
7.1非负矩阵 323
7.1.1非负矩阵与正矩阵 323
7.1.2不可约非负矩阵 329
7.1.3素矩阵与循环矩阵 335
7.2随机矩阵与双随机矩阵 336
7.3单调矩阵 340
7.4 M矩阵与H矩阵 341
7.4.1 M矩阵 342
7.4.2 H矩阵 346
7.5 T矩阵与汉克尔矩阵 347
习题7（1） 349
7.6克罗内克积 350
7.6.1克罗内克积的概念 350
7.6.2克罗内克积的性质 351
7.7阿达马积 357
7.8反积及非负矩阵的阿达马积 359
7.9克罗内克积应用举例 359
7.9.1矩阵的拉直 359
7.9.2线性矩阵方程的解 361
习题7（2） 362
第8章 矩阵在数学内外的应用 363
引言 363
8.1矩阵在数学内部的应用 363
8.1.1矩阵在代数中的应用 363
8.1.2矩阵在几何中的应用 366
8.1.3矩阵在图论中的应用 368
8.2矩阵在数学之外的应用 372
8.2.1矩阵在信息编码中的应用 372
8.2.2矩阵在经济模型中的应用 374
8.2.3矩阵在生物种群生长繁殖问题中的应用 376
8.2.4矩阵在控制论中的应用 377
附录 模拟考试自测试题（共15套） 384
参考文献 401