第一章 预篇 1
1.1 线性空间与内积空间 1
1.1.1 线性空间 1
1.1.2 内积空间 2
1.1.3 正交元素列 5
1.2 正交多项式 7
1.2.1 正交多项式的性质 7
1.2.2 Legendre多项式 10
1.2.3 Chebyshev多项式 13
1.3 范数 16
1.3.1 范数概念 16
1.3.2 矩阵的范数 18
1.4 距离空间及压缩映射原理 21
1.4.1 距离空间概念 21
1.4.2 距离空间的完备性 23
1.4.3 压缩映射原理 24
1.5 误差的基本知识 28
1.5.1 绝对误差、相对误差及有效数字 28
1.5.2 数值运算的误差估计及算法稳定性 31
1.5.3 数值运算中应注意的几个问题 32
习题一 33
第二章 线性方程组的直接解法 35
2.1 Gauss消去法 36
2.1.1 直接法的基本思想 36
2.1.2 Gauss消去法 37
2.1.3 Gauss主元素消去法 40
2.1.4 标度化列主元素消去法 43
2.2 直接三角分解法 44
2.2.1 Gauss消元过程与矩阵的三角分解 44
2.2.2 不选主元的直接三角分解法 49
2.2.3 选主元的直接三角分解法 52
2.3 追赶法与平方根法 55
2.3.1 追赶法 56
2.3.2 平方根法 59
2.3.3 改进的平方根法 61
2.4 高阶带状方程组的解法 64
2.4.1 带状矩阵 64
2.4.2 带状矩阵的存贮 65
2.4.3 对称正定带状方程组求解 67
2.5 矩阵求逆 69
2.6 方程组的性态、病态方程组的求解 75
2.6.1 关于方程组解的精度 75
2.6.2 矩阵的条件数 75
2.6.3 方程组的性态 76
2.6.4 病态方程组的求解 80
小 结 81
习题二 82
第三章 解线性方程组的迭代法 86
3.1 Jacobi迭代法及Gauss—Seidel迭代法 86
3.1.1 Jacobi迭代法 86
3.1.2 Gauss—Seidel迭代法 88
3.2 迭代法的收敛性 89
3.2.1 迭代法收敛定理 89
3.2.2 对角占优阵 91
3.3 SOR法 94
3.3.1 SOR法 94
3.3.2 SOR法的收敛性 95
3.4 最速下降法及共轭斜量法 97
3.4.1 线性方程组的等价问题 97
3.4.2 最速下降法 98
3.4.3 共轭斜量法 99
3.5 块迭代法 102
3.5.1 方程的分组 102
3.5.2 块迭代法 103
小 结 104
习题三 104
第四章 非线性方程及非线性方程组的数值解法 106
4.1 区间搜索法、二分法及迭代法 106
4.1.1 区间搜索法及二分法 106
4.1.2 迭代法 108
4.1.3 收敛阶 110
4.1.4 Aitken加速法 111
4.2 Newton法、弦截法及抛物线法 114
4.2.1 Newton法 114
4.2.2 Newton下山法 116
4.2.3 弦截法及抛物线法 117
4.3 解非线性方程组的Newton法 119
4.3.1 Newton法 120
4.3.2 Newton法的变形 123
小 结 125
习题四 125
第五章 矩阵的特征值与特征向量的计算 128
5.1 幂法及反幂法 128
5.1.1 幂法 128
5.1.2 幂法的加速 132
5.1.3 反幂法 134
5.2 Jacobi法 135
5.2.1 实对称阵的平面旋转变换 136
5.2.2 古典Jacobi法及Jacobi过关法 137
5.3 QR算法 141
5.3.1 基本QR算法原理 141
5.3.2 Householder变换 142
5.3.3 化一般矩阵为上Hessenberg阵 143
5.3.4 上Hessenberg阵的QR分解 146
5.3.5 带原点位移的QR算法 148
小 结 151
习题五 152
第六章 插值法 154
6.1 Lagrange插值 155
6.1.1 代数插值多项式的存在唯一性 155
6.1.2 Lagrange插值公式 156
6.1.3 插值余项 158
6.2 Newton插值 160
6.2.1 均差及其性质 160
6.2.2 Newton插值多项式及其余项 162
6.2.3 反插值 165
6.3 差分及等距节点插值公式 166
6.3.1 差分及其性质 167
6.3.2 Newton向前、向后插值公式 168
6.4 Hermite插值 172
6.4.1 Hermite插值多项式及其余项 172
6.4.2 两点三次Hermite插值 175
6.5 分段插值 177
6.5.1 高次插值多项式的问题 178
6.5.2 分段低次插值 178
6.5.3 分段两点三次Hermite插值 181
6.6 三次样条插值 183
6.6.1 三次样条插值函数的概念 184
6.6.2 三次样条插值多项式 185
6.7 二元插值 196
6.7.1 矩形网格上的插值方法 197
6.6.2 分片Lagrange插值法 200
小结 201
习题六 202
第七章 函数的平方逼近 205
7.1 最佳平方逼近 205
7.1.1 最佳平方逼近函数与法方程组 205
7.1.2 在正交基下的法方程组 209
7.2 数据拟合的最小二乘法 211
7.2.1 基本概念 211
7.2.2 用代数多项式作拟合函数 213
7.2.3 利用正交函数族做曲线拟合 217
小 结 220
习题七 221
第八章 数值积分与数值微分 222
8.1 数值积分 222
8.1.1 Newton—Cotes公式 223
8.1.2 求积公式的代数精度 225
8.1.3 低阶 Newton—Cotes公式的余项 225
8.1.3 低阶Newton—Cotes公式的余项 225
8.1.4 Newton—Cotes公式的稳定性与收敛性 227
8.2 复化求积公式 228
8.2.1 复化求积公式 228
8.2.2 复化求积公式的余项 230
8.2.3 步长的自动选择 231
8.3 Romberg算法 233
8.3.1 梯形公式递推化 233
8.3.2 Romberg算法 235
8.3.3 Richardson外推法 236
8.4 Gauss型求积公式 238
8.4.1 Gauss点 238
8.4.2 Gauss—Legendre公式 240
8.4.3 Gauss—Legendre公式的使用 241
8.4.4 Gauss型求积公式的余项及稳定性 242
8.4.5 带权Gauss型公式 244
8.5 数值微分 245
8.5.1 插值型导数 245
8.5.2 样条导数 247
小 结 248
习题八 248
第九章 常微分方程的数值解法 250
9.1 Euler法 250
9.1.1 前进及后退Euler公式 251
9.1.2 梯形公式与改进的Eur公式 253
9.1.3 局部截断误差与方法的精度 254
9.2 Runge—Kutta法 254
9.2.1 Taylor级数法 255
9.2.2 Runge—Kutta法的基本思想及一般形式 256
9.2.3 二阶Runge—Kutta公式推导 256
9.2.4 四阶Runge—Kutta公式 259
9.2.5 变步长的Runge—Kutta法 260
9.3 线性多步法 261
9.3.1 线性多步法公式的推导 262
9.3.2 常用的线性多步法公式 264
9.3.3 线性多步法公式的使用 266
9.3.4 Hamming方法 267
9.4 常微分方程数值解法的收敛性及稳定性 268
9.4.1 数值解法的收敛性 268
9.4.2 数值解法的稳定性 270
9.5 一阶微分方程组及高阶微分方程的数值解法 272
9.5.1 一阶微分方程组的数值解法 272
9.5.2 高阶微分方程的数值解法 275
9.6 常微分方程边值问题的有限差分解法 277
小 结 280
习题九 281
第十章 偏微分方程的有限差分解法 283
10.1 抛物型方程的有限差分解法 283
10.1.1 古典显式格式 284
10.1.2 古典隐式格式 285
10.1.3 六点对称格式 286
10.2 差分方程的稳定性与收敛性 287
10.2.1 差分方程的稳定性 288
10.2.2 差分方程的收敛性 291
10.3 双曲型方程的有限差分解法 291
10.3.1 二阶双曲型方程的差分格式 291
10.3.2 差分格式的稳定性及收敛性 294
10.3.3 一阶双曲型方程的特征线法 296
10.4 椭园型方程的有限差分解法 299
10.4.1 Poisson方程的差分格式 299
10.4.2 边界条件的处理 301
10.4.3 差分方程的收敛性及求解 303
习题十 304
参考书目 307