第1章 绪论 1
1.1数值模拟 1
1.1.1建模过程 2
1.1.2验证 4
1.1.3离散化 5
1.1.4校核 6
1.1.5决策 6
1.2为什么数值分析的准确性如此重要 8
1.2.1设计准则的应用 8
1.2.2设计规范的制定 9
1.3本章总结 10
第2章 有限元法概述 12
2.1一维数学模型 12
2.1.1弹性杆 12
2.1.2数学模型的校核 17
2.1.3数学模型的验证 19
2.1.4一维标量椭圆边界值问题 20
2.2近似解 20
2.3一维通用公式 23
2.3.1 Dirichlet边界条件 25
2.3.2 Neumann边界条件 26
2.3.3 Robin边界条件 26
2.4有限元近似求解 27
2.4.1误差计算和范数 29
2.4.2能量范数的近似误差 31
2.5一维有限元法 31
2.5.1标准单元 31
2.5.2标准的多项式空间 32
2.5.3有限元空间 34
2.5.4系数矩阵的计算 35
2.5.5方程右边向量的计算 37
2.5.6矩阵装配 39
2.5.7位移边界条件的处理 42
2.5.8求解 44
2.5.9快速求解的过程 45
2.6通用方程的性质 48
2.6.1唯一性 48
2.6.2势能 49
2.6.3能量范数误差 49
2.6.4连续性 49
2.6.5能量范数的收敛性 50
2.7基于外推法的误差估计 52
2.8提取法 54
2.9练习 55
2.10本章总结 56
第3章 数学模型表达式 57
3.1符号记法 57
3.2热传导 58
3.2.1微分方程 59
3.2.2边界条件和初始条件 60
3.2.3对称性、反对称性以及周期性 61
3.2.4降维 61
3.3标量椭圆边值问题 66
3.4线弹性 67
3.4.1 Navier（纳维）方程 70
3.4.2边界条件和初始条件 70
3.4.3对称性、反对称性和周期性 71
3.4.4降低维数 72
3.5不可压弹性材料 75
3.6 Stokes（斯托克斯）流 76
3.7数学模型的层次化 76
3.8本章总结 77
第4章 广义公式 78
4.1标量椭圆问题 78
4.1.1连续性 79
4.1.2存在性 80
4.1.3有限元问题的公式表示 80
4.2虚功原理 82
4.3弹塑性问题 84
4.3.1唯一性 85
4.3.2最小势能原理 91
4.4弹性动力学模型 96
4.5不可压材料 101
4.5.1鞍点问题 102
4.5.2泊松比锁定 102
4.5.3可求解性 102
4.6本章总结 103
第5章 有限元空间 104
5.1二维标准单元 104
5.2标准多项式空间 105
5.2.1树形空间 105
5.2.2乘积空间 105
5.3形函数 106
5.3.1 Lagrange形函数 106
5.3.2分级形函数 108
5.4二维情况下的映射函数 109
5.4.1等参映射 109
5.4.2基于混合函数法的映射 111
5.4.3高价单元映射 113
5.4.4刚体转动 113
5.5三维情况下的单元 113
5.6积分和微分 114
5.6.1体积分和面积分 115
5.6.2面积分和围线积分 116
5.6.3微分 116
5.7刚度矩阵和载荷向量 117
5.7.1刚度矩阵 117
5.7.2载荷矢量 118
5.8本章总结 119
第6章 一致性与收敛速度 120
6.1规律性 120
6.2分类 123
6.3奇异点邻域 124
6.3.1 Laplace方程 125
6.3.2 Navier方程 126
6.3.3材料界面 132
6.3.4作用于边界上的施力函数 133
6.3.5强奇异点和弱奇异点 139
6.4收敛速度 140
6.4.1有限元空间的选择 142
6.4.2先验信息的使用 147
6.4.3能量范数的后验估计误差 152
6.4.4自适应反馈法 154
6.5本章总结 155
第7章 计算和校核 157
7.1解及其一阶导数的计算 157
7.2节点力 158
7.2.1 h型有限元中的节点力 158
7.2.2 p型有限元中的节点力 160
7.2.3节点力和应力合力 161
7.3计算数据的校核 162
7.4通量和应力强度因子 167
7.4.1 Laplace方程 167
7.4.2平面弹性问题 169
7.5本章总结 171
第8章 计算内容及原因 173
8.1基本假设 173
8.2概念：损伤累积驱动 173
8.3金属疲劳经典模型 175
8.3.1损伤累积模型 177
8.3.2切口灵敏度 180
8.3.3临界距离理论 181
8.4线弹性断裂力学 182
8.5临界距离的存在性 184
8.6损伤累积的驱动力 185
8.7循环计数 186
8.8校核 187
8.9本章总结 188
第9章 梁、板和壳 190
9.1梁 190
9.1.1 Timoshenko梁 191
9.1.2 Bernoulli-Euler梁 195
9.2板 199
9.2.1 Reissner-Mindlin（莱斯纳-明德林）板 201
9.2.2 Kirchhoff板（基尔霍夫） 203
9.2.3强制C1连续性—HCT单元 205
9.3壳 206
9.4橡树山试验 209
9.4.1试验描述 209
9.4.2概念化 210
9.4.3校核 211
9.4.4验证：预测数据与观测数据的比较 212
9.4.5讨论 214
9.5本章总结 215
第10章 非线性模型 216
10.1热传导 216
10.1.1辐射 216
10.1.2非线性材料属性 216
10.2固体力学 217
10.2.1大应变和旋转 217
10.2.2结构稳定性和应力强化 219
10.2.3塑性力学 222
10.2.4机械接触 225
10.3本章总结 227
附录A 228
A.1范数与半范数 228
A.2赋范线性空间 228
A.3线性泛函 229
A.4双线性形式 229
A.5收敛性 229
A.6 Legendre多项式 229
A.7解析函数 230
A.7.1 R2上的解析函数 230
A.7.2 R2上的解析曲线 230
A.8 Schwarz积分不等式 231
附录B数值积分 232
B.1 Gauss积分 232
B.2 Gauss-Lobatto积分 233
附录C应力张量的性质 235
C.1应力矢量 235
C.2主应力 236
C.3矢量变换 236
C.4应力变换 237
附录D应力强度因子计算 239
D.1回路积分法 239
D.2能量释放率 240
D.2.1对称载荷（Ⅰ型） 240
D.2.2反对称载荷（Ⅱ型） 241
D.2.3混合载荷（Ⅰ型和Ⅱ型） 242
D.2.4刚度微分法 242
附录E Saint Venant原理 243
E.1.Laplace方程的Green函数 243
E.2.模型问题 243
附录F 练习答案选 248
参考文献 254