第一章 绪论 1
1.1 孤立子的历史回顾 1
1.2 孤立子解的构造方法概述 3
1.2.1 反散射方法 3
1.2.2 B？cklund变换及Darboux变换 5
1.2.3 Hirota双线性方法 8
1.2.4 Wronskian和Pfaffian技巧 9
1.2.5 Painlevé分析法 11
1.2.6 国内精确解求解方法简介 12
1.3 论文的主要工作和结构 14
1.3.1 论文的主要工作 14
1.3.2 论文的结构安排 16
第二章 孤子方程的双线性结构 18
2.1 双线性微分算子的基本性质 18
2.2 非线性发展方程的双线性化 29
2.2.1 有理型变换 30
2.2.2 对数型变换 31
2.2.3 复对数型变换 31
2.2.4 方程族的双线性化 33
2.3 多孤子解的双线性结构 37
2.3.1 KdV类型的双线性方程 38
2.3.2 MKdV类型的双线性方程 43
2.3.3 sine-Gordon类型的双线性方程 45
2.3.4 Schr？dinger类型的双线性方程 50
第三章 孤子方程的Wronskian解 56
3.1 Wronskian的相关性质 56
3.1.1 Wronskian的Plücker关系式及Jacobi公式 56
3.1.2 KP方程的Wronskian解 61
3.1.3 Grammian解 65
3.2 Darboux变换和Crum定理 68
3.3 非等谱MKdV方程的孤子解 71
3.3.1 非等谱MKdV方程族 71
3.3.2 非等谱MKdV方程Hirota形式解 74
3.3.3 非等谱MKdV方程Wronskian形式解 77
3.4 具非均匀项MKdV方程的孤子解 80
3.4.1 具非均匀项MKdV方程Hirota形式解 80
3.4.2 具非均匀项MKdV方程Wronskian形式解 82
第四章 孤子方程的Pfaffian解 86
4.1 孤子方程的Pfaffian解 86
4.1.1 Pfaffian的定义及基本性质 86
4.1.2 行列式与Wronskian的Pfaffian表示 88
4.1.3 Pfaffian的展开性质 90
4.1.4 Pfaffian的导数 96
4.2 BKP方程的Pfaffian解 99
4.2.1 N－孤子解的Pfaffian表示 99
4.2.2 N－孤子解Grammian型的Pfaffian表示 106
4.2.3 B？cklund变换的Pfaffian表示 108
4.3 孤子方程的Pfaffian化 111
4.3.1 Wronskian的Pfaffian化 112
4.3.2 Gramanian的Pfaffian化 116
第五章 双线性形式B？cklund变换 121
5.1 B？cklund变换 121
5.1.1 B？cklund变换的定义 121
5.1.2 双线性与WE形式的B？cklund变换 123
5.1.3 B？cklund变换与修正的发展方程 126
5.2 非线性叠加公式 128
5.2.1 可换性定理和非线性叠加公式 128
5.2.2 双线性B？cklund变换的叠加公式 131
5.2.3 Vakhnenko方程的非线性叠加公式 133
5.3 Boussinesq方程的双线性B？cklund变换求解 137
5.3.1 修正的双线性B？cklund变换 137
5.3.2 Boussinesq方程的求解 139
5.4 浅水波方程的双线性B？cklund变换求解 146
5.4.1 双线性B？cklund变换的求解 146
5.5 非等谱MKdV方程的双线性B？cklund变换求解 151
第六章 孤子方程的各种精确解 155
6.1 Hirota形式的推广 155
6.1.1 浅水波方程新的精确解 156
6.1.2 Ito方程新的精确解 163
6.2 孤子方程的有理解 166
6.2.1 长波极限法 166
6.2.2 非线性叠加公式法 169
6.3 双线性B？cklund变换的极限解 172
6.3.1 Boussinesq方程的极限解 172
6.3.2 5阶KdV方程的极限解 181
6.4 广义Wronskian及其精确解 184
6.4.1 广义Wronskian与Wronskian的联系 184
6.4.2 广义Wronskian构造的精确解 186
6.4.3 广义Wronskian构造的complexiton解 192
附录A 197
附录B 199
参考文献 201
致谢 227