第1章 复数与复变函数 1
1.1复数 1
1.1.1复数的概念 1
1.1.2复数的四则运算 1
1.1.3复数的表示法 2
习题1.1 8
1.2复数的乘幂与开方 8
1.2.1复数的乘幂 8
1.2.2复数的开方 9
习题1.2 10
1.3平面点集 10
1.3.1复平面上的点集与区域 10
1.3.2单连通区域与多（复）连通区域 11
习题1.3 12
1.4复变函数 13
1.4.1复变函数的概念 13
1.4.2复变函数的几何表示 14
1.4.3反函数与复合函数 15
习题1.4 15
1.5复变函数的极限与连续 16
1.5.1复变函数的极限 16
1.5.2复变函数的连续性 19
习题1.5 20
复习题一 21
第2章 解析函数 24
2.1复变函数的导数与解析函数的概念 24
2.1.1复变函数的导数与微分 24
2.1.2解析函数的概念 27
习题2.1 28
2.2复变函数可导与解析的充要条件 28
习题2.2 33
2.3解析函数与调和函数的关系 33
习题2.3 37
2.4初等函数及其解析性 37
2.4.1指数函数 38
2.4.2对数函数 39
2.4.3幂函数 40
2.4.4三角函数 41
2.4.5反三角函数 43
2.4.6双曲函数与反双曲函数 44
习题2.4 45
复习题二 45
第3章 复变函数的积分 49
3.1复积分的概念及其基本计算方法 49
3.1.1复积分的定义 49
3.1.2复积分的基本性质 50
3.1.3复积分的存在定理及其基本计算方法 51
习题3.1 54
3.2柯西积分定理与不定积分 54
3.2.1柯西积分定理 54
3.2.2不定积分 57
习题3.2 59
3.3复合闭路定理 59
习题3.3 61
3.4柯西积分公式与高阶导数 62
3.4.1柯西积分公式 62
3.4.2解析函数的高阶导数 64
3.4.3柯西不等式与刘维尔（Liouville）定理 66
习题3.4 67
复习题三 68
第4章 级数 71
4.1复数序列与复数项级数 71
4.1.1复数序列 71
4.1.2复数项级数 72
习题4.1 74
4.2复变函数项级数 74
4.2.1复变函数项级数的概念 74
4.2.2幂级数 75
习题4.2 79
4.3解析函数的泰勒展开式 79
习题4.3 83
4.4解析函数的洛朗级数 84
4.4.1洛朗级数 84
4.4.2解析函数的洛朗展开式 85
习题4.4 90
复习题四 90
第5章 留数及其应用 94
5.1解析函数的孤立奇点 94
5.1.1孤立奇点的定义 94
5.1.2孤立奇点的分类 95
5.1.3孤立奇点的定义及分类 102
习题5.1 104
5.2留数的定义及计算 104
5.2.1留数的定义 104
5.2.2留数的计算 106
5.2.3留数定理及其应用 109
5.2.4无穷远点的留数 111
习题5.2 115
5.3留数在实变量积分计算中的应用 116
5.3.1∫2πR 0 （cosθ， sinθ） dθ 型积分 116
5.3.2∫+∞ -∞ f（x）dx型积分 117
5.3.3∫+∞ -∞ f（x）eiax dx（a＞0）型积分 119
习题5.3 122
5.4对数留数与辐角原理 122
5.4.1对数留数 122
5.4.2辐角原理 123
5.4.3儒歇定理 125
习题5.4 126
复习题五 126
第6章 保形映射 128
6.1解析函数导数的几何意义与保形映射的概念 128
6.1.1解析函数导数的几何意义 128
6.1.2保形映射的概念 130
习题6.1 130
6.2分式线性映射及其应用 131
6.2.1分式线性映射的概念 131
6.2.2分式线性映射的分解 132
6.2.3分式线性映射的性质 133
6.2.4分式线性映射的应用 137
习题6.2 140
6.3常见初等函数确定的映射 141
6.3.1幂函数和根式函数所确定的映射 141
6.3.2指数函数与对数函数所确定的映射 145
习题6.3 146
复习题六 147
第7章 傅里叶变换 149
7.1傅里叶积分 149
7.1.1周期函数的傅里叶级数 149
7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式 150
习题7.1 151
7.2傅里叶变换的定义及性质 152
7.2.1傅里叶变换的定义 152
7.2.2傅里叶变换的性质 155
习题7.2 167
7.3 δ函数及其傅里叶变换 168
7.3.1 δ函数的定义 168
7.3.2 δ函数的性质 170
7.3.3 δ函数的傅里叶变换 173
习题7.3 175
复习题七 175
第8章 拉普拉斯变换 177
8.1拉普拉斯变换的概念 177
8.1.1问题的提出 177
8.1.2拉普拉斯变换的定义 178
8.1.3拉普拉斯变换的存在定理 179
8.1.4周期函数的拉普拉斯变换 181
8.1.5单位脉冲函数δ（t）的拉普拉斯变换 182
习题8.1 183
8.2拉普拉斯逆变换 184
习题8.2 187
8.3拉普拉斯变换的性质 188
习题8.3 200
8.4拉普拉斯变换的应用 202
8.4.1解线性微分方程和积分方程 202
8.4.2解具有特殊扰动函数的微分方程 209
习题8.4 211
复习题八 212
第9章 数学实验 214
实验1复变函数的微积分 214
实验2留数的基本运算与闭曲线上的积分 225
实验3傅里叶变换和拉普拉斯变换 228
参考答案 234
附录1区域变换表 253
附录2傅里叶变换简表 257
附录3拉普拉斯变换简表 261
主要参考文献 265