第一章 数学分析中的几个话题 1
1.1初等数学 1
1.1.1数值、变量和初等函数 1
1.1.2二次与三次方程 5
1.1.3相似图形的面积，以椭圆为例 8
1.1.4二次代数曲线 10
1.2微分和积分运算 14
1.2.1微分法则 14
1.2.2中值定理 15
1.2.3微分形式不变性 16
1.2.4积分法则 17
1.2.5泰勒级数 17
1.2.6复变量 19
1.2.7函数的近似表达式 21
1.2.8雅可比行列式·函数无关性·多重积分的换元法 22
1.2.9函数的线性无关·朗斯基行列式 23
1.2.10积分 23
1.2.11曲线族的微分方程 25
1.3向量分析 27
1.3.1向量代数 27
1.3.2向量函数 29
1.3.3向量场 30
1.3.4三个经典的积分定理 31
1.3.5拉普拉斯方程 32
1.3.6行列式的微分 32
1.4微分代数的符号 33
1.4.1微分变量·全微分 33
1.4.2乘积和复合函数的高阶微分 34
1.4.3多元微分函数 34
1.4.4微分方程的空间曲面 35
1.4.5换元法求导 37
1.5变分法 39
1.5.1最小作用量原理 39
1.5.2多元欧拉-拉格朗日方程 40
习题一 40
第二章 数学物理问题 45
2.1导言 45
2.2自然现象 46
2.2.1人口模型 46
2.2.2生态学：放射性的废弃物 47
2.2.3开普勒（Kepler）定律…牛顿万有引力定律 48
2.2.4地表的自由落体运动 49
2.2.5流星体 50
2.2.6降雨模型 51
2.3物理学和工程学 52
2.3.1牛顿冷却模型 52
2.3.2机械振动·钟摆 59
2.3.3传动轴的失效 62
2.3.4 van der Pol方程 64
2.3.5电报方程 65
2.3.6电动力学 65
2.3.7狄拉克方程 66
2.3.8流体动力学 67
2.3.9 Navier-Stokes方程 68
2.3.10灌溉系统模型 68
2.3.11磁流体动力学 69
2.4扩散现象 69
2.4.1线性热传导方程 69
2.4.2非线性热传导方程 71
2.4.3 Burgers方程和Korteweg-de Vries方程 72
2.4.4经济学数学模型 72
2.5生物数学 73
2.5.1巧妙的蘑菇 73
2.5.2肿瘤的生长模型 75
2.6波现象 75
2.6.1绳索的微小振动 76
2.6.2振动膜 78
2.6.3极小曲面 80
2.6.4振动细长杆和板 81
2.6.5非线性波 82
2.6.6 Chaplygin方程和Tricomi方程 84
习题二 84
第三章 常微分方程：经典方法 87
3.1简介和基础方法 87
3.1.1微分方程·初值问题 87
3.1.2方程y（n） = f（x）的积分 89
3.1.3齐次方程 89
3.1.4齐次性的不同种类 92
3.1.5降阶 93
3.1.6微分线性化 94
3.2一阶方程 94
3.2.1可分离变量的方程 94
3.2.2全微分方程 95
3.2.3积分因子（A.Clairaut，1739） 96
3.2.4里卡蒂方程 98
3.2.5伯努利方程 101
3.2.6齐次线性微分方程 102
3.2.7非齐次线性方程·常数变易法 102
3.3二阶线性方程 104
3.3.1齐次方程：叠加性 104
3.3.2齐次方程：等价性质 105
3.3.3齐次方程：常系数 108
3.3.4非齐次微分方程：常数变易法 109
3.3.5贝塞尔方程和贝塞尔函数 113
3.3.6超几何方程 114
3.4高阶线性方程 115
3.4.1齐次方程·基础解系 115
3.4.2非齐次方程·常数变易法 116
3.4.3常系数方程 116
3.4.4欧拉方程 118
3.5一阶微分方程组 118
3.5.1微分方程组的一般属性 118
3.5.2首次积分 119
3.5.3常系数的线性方程组 124
3.5.4方程组的常数变易法 125
习题三 128
第四章 一阶偏微分方程 131
4.1简介 131
4.2齐次线性方程 132
4.3非齐次方程的特解 134
4.4拟线性方程 135
4.5齐次方程组 138
习题四 142
第五章 二阶线性偏微分方程 145
5.1多元方程 145
5.1.1固定点的分类 145
5.1.2伴随线性微分算子 147
5.2含两个自变量的方程的分类 149
5.2.1特征值，三种类型方程 149
5.2.2双曲型方程的标准形式 151
5.2.3抛物型方程的标准形式 152
5.2.4椭圆型方程的标准形式 153
5.2.5混合型方程 154
5.2.6非线性方程的类型 154
5.3包含两个变量的双曲型方程的积分 155
5.3.1 d’Alembert解 155
5.3.2可化为波动方程的微分方程 156
5.3.3欧拉方法 161
5.3.4拉普拉斯级联法 163
5.4初值问题 165
5.4.1波动方程 165
5.4.2非齐次波动方程 166
5.5混合问题，变量分离 167
5.5.1端部固定的弦的振动 168
5.5.2热传导方程的混合问题 171
习题五 173
第六章 非线性常微分方程 175
6.1简介 175
6.2群变换 176
6.2.1平面上只含一个参数的群 176
6.2.2群生成元和李方程 177
6.2.3指数映射 179
6.2.4不变量和不变方程 180
6.2.5典型变量 183
6.3一阶微分方程的对称性 184
6.3.1群生成元的首次延拓 184
6.3.2对称群的定义和主要性质 185
6.3.3给定对称性的方程 187
6.4利用对称求解一阶微分方程的积分 189
6.4.1李积分因子 189
6.4.2利用典型变量求积分 191
6.4.3不变解系 195
6.4.4由不变解系给出的通解 196
6.5二阶方程 197
6.5.1群生成元的二次延拓·对称的计算 197
6.5.2李代数 199
6.5.3二维李代数的标准形式 201
6.5.4李积分法 202
6.5.5已知一个特解的线性方程的积分 207
6.5.6李的线性化验证 209
6.6高阶方程 213
6.6.1不变解·欧拉猜想的推导 213
6.6.2积分因子（N.H.Ibragimov，2006） 215
6.6.3三阶方程的线性化 222
6.7非线性叠加 230
6.7.1导言 230
6.7.2非线性叠加的重要定理 231
6.7.3非线性叠加的例子 236
6.7.4使用非线性叠加的方程组积分 243
习题六 245
第七章 非线性偏微分方程 249
7.1对称 249
7.1.1对称群的定义和计算 250
7.1.2解的群变换 254
7.2群不变解 255
7.2.1简介 255
7.2.2 Burgers方程 257
7.2.3非线性边值问题 259
7.2.4灌溉系统的不变解 262
7.2.5肿瘤生长模型的不变解 264
7.2.6非线性光学的例子 266
7.3不变性和守恒定律 267
7.3.1简介 267
7.3.2预备知识 270
7.3.3诺特定理 271
7.3.4高阶拉格朗日算子 272
7.3.5常微分方程组的守恒定律 272
7.3.6诺特定理的一般化 274
7.3.7来自经典力学的例子 275
7.3.8爱因斯坦能量公式的推导 277
7.3.9狄拉克方程的守恒定律 278
习题七 279
第八章 广义函数或分布 283
8.1广义函数简介 283
8.1.1启发式思考 283
8.1.2分布的定义和举例 285
8.1.3用δ函数表示的极限 286
8.2分布的运算 287
8.2.1函数的乘法 287
8.2.2微分 287
8.2.3分布的直积 287
8.2.4卷积 288
8.3分布△（r2-n） 289
8.3.1球面上的平均值 289
8.3.2拉普拉斯方程△v（r）=0的解 290
8.3.3分布△（r2-n）的计算 291
8.4分布的变换 292
8.4.1线性换元法 292
8.4.2 δ函数的换元法 293
8.4.3任意的群变换 294
8.4.4分布的无穷小变换 295
习题八 296
第九章 不变原理和基本解 297
9.1简介 297
9.2不变原理 298
9.2.1不变原理的公式表达 298
9.2.2常系数线性方程的基本解 298
9.2.3拉普拉斯方程的应用 299
9.2.4热传导方程的应用 301
9.3热传导方程的柯西问题 302
9.3.1柯西问题的基本解 302
9.3.2用不变原理求解柯西问题基本解 303
9.3.3柯西问题的解 305
9.4波动方程 305
9.4.1微分形式的初步知识 305
9.4.2相伴齐次方程的分布 309
9.4.3波动方程基本解的对称性定义 311
9.4.4基本解的求解 313
9.4.5柯西问题的解 314
9.5变系数方程 315
习题九 315
参考答案 317
参考文献 327
索引 331