第1讲 行列式的计算 1
一、知识要点 1
1.行列式的定义 1
2.行列式的性质 1
3.行列式的展开定理 2
4.方阵的行列式的性质 3
5.几个特殊的行列式 3
二、典型例题解析 4
题型一 求数字型（尤其是含参数）行列式的值 4
题型二n阶行列式的计算 6
题型三 求抽象矩阵的行列式 7
练习题 10
练习题参考答案 12
第2讲 矩阵及其运算 15
一、知识要点 15
1.矩阵的定义 15
2.几种常用的特殊矩阵 15
3.矩阵的运算 16
4.分块矩阵及其运算 19
5.可逆矩阵 21
6.正交矩阵 25
二、典型例题解析 25
题型一 矩阵运算的有关问题 25
题型二 伴随矩阵的有关问题 28
题型三 证明矩阵可逆及求逆矩阵 28
题型四 矩阵方程求解 31
练习题 33
练习题参考答案 35
第3讲 矩阵的初等变换与矩阵的秩 41
一、知识要点 41
1.矩阵的初等变换与初等方阵 41
2.矩阵的秩及几个重要结果 42
3.矩阵的等价 45
二、典型例题解析 47
题型一 矩阵的初等变换与初等方阵的关系 47
题型二 矩阵秩的有关问题 49
练习题 52
练习题参考答案 55
第4讲 向量组的线性相关性 59
一、知识要点 59
1.向量及其运算 59
2.向量组的线性组合与线性相关 60
3.向量组的等价 61
4.向量组的最（极）大无关组与向量组的秩 62
二、典型例题解析 63
题型一 向量组线性相关与线性无关的判别、向量组的等价 63
题型二 求向量组的秩及最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示 67
练习题 69
练习题参考答案 71
第5讲 线性方程组 76
一、知识要点 76
1.线性方程组及其解向量 76
2.线性方程组解的判别定理 76
3.齐次线性方程组的基础解系 77
4.解的性质与通解结构 78
5.求非齐次线性方程组Ax=b的通解 78
二、典型例题解析 79
题型一 方程组解的判别 79
题型二 求解线性方程组 80
题型三 利用解的性质及解的结构求通解 86
题型四 两个方程组的公共解及同解性 87
题型五 判断一个向量（或向量组）是否可由给定的向量组线性表示 89
练习题 90
练习题参考答案 93
第6讲 矩阵的特征值与特征向量，矩阵的对角化 101
一、知识要点 101
1.向量组的正交规范化 101
2.特征值与特征向量的定义 101
3.特征值与特征向量的求法 102
4.特征值与矩阵的关系 102
5.特征向量的性质 103
6.各种运算下的特征值与特征向量 103
7.特殊矩阵的特征值 104
8.矩阵的相似 104
9.矩阵的（相似）对角化 105
10.（实）对称矩阵的（相似）对角化 106
二、典型例题解析 107
题型一 求矩阵的特征值与特征向量 107
题型二 矩阵的相似对角化与实对称矩阵的相似合同对角化 108
题型三 反求参数问题（包括反求矩阵） 113
练习题 116
练习题参考答案 118
第7讲 二次型及其标准形 125
一、知识要点 125
1.（实）二次型的矩阵表示 125
2.化二次型为标准形 126
3.二次型的规范形 127
4.正定二次型与正定矩阵 127
5.矩阵的合同 128
6.矩阵的等价、相似与合同三种关系的对比 128
二、典型例题解析 128
题型一 二次型的标准形与规范形 128
题型二 正定性的判别与证明 132
题型三 矩阵的等价、相似与合同 134
练习题 135
练习题参考答案 137