第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、集合 1
二、一元函数的定义 3
三、函数的几种特性 5
四、反函数 7
习题1-1 7
第二节 初等函数 8
一、基本初等函数 8
二、复合函数 11
三、初等函数 12
四、双曲函数 12
习题1-2 14
第三节 数列的极限 14
一、数列 15
二、数列极限的定义 16
三、数列收敛的充分条件与性质 17
习题1-3 19
第四节 函数的极限 20
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 20
二、自变量趋向有限值时函数的极限 21
三、函数极限的性质 22
习题1-4 24
第五节 无穷小与无穷大 24
一、无穷小 24
二、无穷大 25
习题1-5 26
第六节 极限运算法则 26
习题1-6 30
第七节 两个重要极限 31
一、重要极限lim x→0 sinx/x = 1 31
二、重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e 33
习题1-7 35
第八节 无穷小的比较 35
习题1-8 37
第九节极限的精确定义 37
一、数列极限的精确定义 37
二、函数极限的精确定义 39
三、无穷小与无穷大的精确定义 41
四、极限的一些基本定理的证明 42
习题1-9 46
第十节 函数的连续性 46
一、函数连续的定义 47
二、函数的间断点 48
习题1-10 50
第十一节 连续函数的运算与初等函数的连续性 50
一、连续函数的和、积及商的连续性 50
二、反函数与复合函数的连续性 51
三、初等函数的连续性 52
习题1-11 53
第十二节 闭区间上连续函数的性质 53
一、最大值和最小值定理 53
二、介值定理 54
习题1-12 55
第十三节综合例题 55
复习题一 59
第二章 导数与微分 63
第一节 导数概念 63
一、引例 63
二、导数的定义 65
三、求导数举例 66
四、函数的可导性与连续性之间的关系 68
五、导数的几何意义 69
习题2-1 70
第二节 函数的求导法则 70
一、函数的和、差、积、商的求导法则 70
二、反函数的求导法则 74
三、复合函数的导数 75
习题2-2 78
第三节 高阶导数 80
习题2-3 83
第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 84
一、隐函数的导数 84
二、对数求导法 86
三、由参数方程所确定的函数的导数 86
四、相关变化率 89
习题2-4 89
第五节 函数的微分 90
一、微分的概念 90
二、微分的运算公式 93
三、微分在近似计算中的应用 94
习题2-5 95
第六节 微元 96
第七节 综合例题 98
复习题二 101
第三章 中值定理与导数的应用 105
第一节 中值定理 105
一、费马引理 105
二、罗尔定理 106
三、拉格朗日中值定理 107
四、柯西中值定理 109
习题3-1 109
第二节 洛必达法则 110
习题3-2 115
第三节 泰勒中值定理 115
习题3-3 118
第四节 函数单调性判别法 119
习题3-4 120
第五节 函数的极值与最值 121
一、函数的极值及其求法 121
二、函数的最值及其求法 122
习题3-5 125
第六节 曲线的凹凸性与拐点 126
习题3-6 128
第七节 函数作图 129
习题3-7 131
第八节 曲线的曲率 132
一、曲率概念 132
二、曲率圆与曲率半径 133
习题3-8 135
第九节方程的近似解 135
一、二分法 135
二、牛顿法 136
习题3-9 138
第十节综合例题 138
复习题三 142
第四章 不定积分 146
第一节 不定积分的概念和性质 146
一、原函数与不定积分的概念 146
二、不定积分的性质 148
三、不定积分的基本公式 149
习题4-1 151
第二节 换元积分法 151
一、第一类换元法 152
二、第二类换元法 155
习题4-2 158
第三节 分部积分法 159
习题4-3 162
第四节 几种特殊类型函数的积分 163
一、有理函数的积分 163
二、三角函数有理式的积分 165
三、简单无理函数的积分举例 166
习题4-4 167
第五节综合例题 167
复习题四 171
第五章 定积分 174
第一节 定积分概念 174
一、引例 174
二、定积分定义 176
习题5-1 179
第二节 定积分的性质 179
习题5-2 182
第三节 微积分基本公式 182
习题5-3 187
第四节 定积分的换元法与分部积分法 188
一、定积分的换元法 188
二、定积分的分部积分法 191
习题5-4 193
第五节 广义积分初步 194
一、积分区间为无穷的广义积分 194
二、无界函数的广义积分 196
习题5-5 198
第六节 定积分的近似计算 198
一、梯形方法 198
二、抛物线方法 199
第七节综合例题 201
复习题五 204
第六章 定积分的应用 210
第一节 平面图形的面积 210
一、直角坐标情形 210
二、极坐标情形 212
习题6-1 213
第二节 体积 214
一、旋转体的体积 214
二、平行截面面积为已知的立体的体积 216
习题6-2 216
第三节 平面曲线的弧长 217
一、直角坐标情形 217
二、参数方程情形 218
三、极坐标方程情形 219
习题6-3 220
第四节 定积分的其他应用 220
一、物理中的应用 220
二、工程中的应用 222
三、经济管理中的应用 224
习题6-4 226
第五节 综合例题 226
复习题六 230
第七章 常微分方程 232
第一节 微分方程的基本概念 232
习题7-1 235
第二节 可分离变量的微分方程 235
习题7-2 237
第三节 齐次方程 238
习题7-3 240
第四节 一阶线性方程 240
一、一阶线性微分方程 240
二、贝努利方程 245
习题7-4 246
第五节 可降阶的高阶微分方程 246
一、y（n）=f （x）型的微分方程 246
二、y″ =f （x， y′）型的微分方程 247
三、y″=f （y， y′）型的微分方程 248
习题7-5 249
第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 249
习题7-6 252
第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 252
习题7-7 255
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 256
一、f（x）=Pm（x） eλx型 256
二、f（x）=eλx[Pl （x） eos ωx+Pn（x）sinωx]型 258
习题7-8 259
第九节欧拉方程 260
习题7-9 261
第十节常系数线性微分方程组 261
习题7-10 263
第十一节微分方程应用举例 264
习题7-11 270
第十二节综合例题 271
复习题七 275
第八章 向量代数与空间解析几何 278
第一节 空间直角坐标系 278
一、空间直角坐标系及点的坐标 278
二、两点间的距离公式 279
习题8-1 280
第二节 向量及其运算 280
一、向量的概念 280
二、向量的线性运算 281
三、向量的数量积 285
四、向量的向量积 286
五、向量的混合积 288
习题8-2 290
第三节 平面方程 290
习题8-3 293
第四节 空间直线的方程 293
一、空间直线的一般方程 293
二、空间直线的对称式方程与参数方程 294
三、两直线的夹角 295
四、直线与平面的夹角 296
习题8-4 296
第五节 曲面及其方程 297
一、曲面与方程 297
二、母线平行于坐标轴的柱面 298
三、旋转曲面与二次曲面 299
习题8-5 302
第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 303
一、空间曲线的一般方程 303
二、空间曲线的参数方程 304
三、空间曲线在坐标面上的投影 305
习题8-6 306
第七节综合例题 307
复习题八 310
第九章 多元函数微分法及其应用 313
第一节 多元函数的基本概念 313
一、平面区域的概念 313
二、n维空间的概念 314
三、多元函数的概念 314
四、二元函数的极限 316
五、二元函数的连续性 317
习题9-1 318
第二节 偏导数 319
一、偏导数的概念及计算 319
二、高阶偏导数 321
习题9-2 323
第三节 全微分 323
习题9-3 325
第四节 多元复合函数的求导法则 326
习题9-4 330
第五节 隐函数的求导公式 332
一、一个方程确定的隐函数 332
二、由方程组确定的隐函数 334
习题9-5 336
第六节 多元微分学在几何上的应用 337
一、空间曲线的切线和法平面 337
二、曲面的切平面与法线 339
习题9-6 341
第七节 方向导数与梯度 341
一、方向导数的概念及计算 341
二、梯度 343
习题9-7 345
第八节 一元向量值函数及其导数 346
习题9-8 348
第九节 多元函数的极值与最值 348
一、极值与最值 348
二、条件极值 350
习题9-9 353
第十节综合例题 354
复习题九 358
第十章 重积分 362
第一节 二重积分的概念与性质 362
一、二重积分的概念 362
二、二重积分的性质 365
习题10-1 366
第二节 二重积分的计算法 367
一、利用直角坐标计算二重积分 367
二、利用极坐标计算二重积分 372
习题10-2 375
第三节 二重积分的应用 377
一、曲面的面积 377
二、平面薄片的质心 379
三、平面薄片的转动惯量 380
习题10-3 381
第四节 三重积分 381
一、三重积分的概念 381
二、三重积分的计算 382
三、三重积分的应用 387
习题10-4 389
第五节综合例题 390
复习题十 393
第十一章 曲线积分与曲面积分 398
第一节 对弧长的曲线积分 398
一、对弧长曲线积分的概念 398
二、对弧长曲线积分的计算 400
习题11-1 402
第二节 对坐标的曲线积分 403
一、对坐标曲线积分的概念 403
二、对坐标曲线积分的计算 406
三、两类曲线积分之间的关系 409
习题11-2 410
第三节 格林公式及其应用 410
一、格林公式 410
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 414
习题11-3 418
第四节 对面积的曲面积分 419
一、对面积的曲面积分的概念 419
二、对面积的曲面积分的计算 420
习题11-4 422
第五节 对坐标的曲面积分 423
一、对坐标的曲面积分的概念 423
二、对坐标的曲面积分的计算 427
习题11-5 429
第六节 高斯公式 通量与散度 430
一、高斯公式 430
二、通量与散度 432
习题11-6 434
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 435
一、斯托克斯公式 435
二、环流量与旋度 437
习题11-7 438
第八节综合例题 438
复习题十一 443
第十二章 级数 448
第一节 常数项级数的基本概念和性质 448
一、常数项级数的基本概念 448
二、级数的基本性质 451
习题12-1 452
第二节 常数项级数敛散性的判别法 453
一、正项级数及其敛散性判别法 453
二、交错级数及其敛散性判别法 457
三、绝对收敛与条件收敛 458
习题12-2 459
第三节 幂级数 460
一、函数项级数的一般概念 460
二、幂级数及其收敛性 461
三、幂级数的运算 465
习题12-3 467
第四节 函数展开成幂级数 468
习题12-4 473
第五节 函数的幂级数展开式的应用 474
一、欧拉公式 474
二、函数值的近似计算 474
三、计算定积分 475
四、解微分方程 476
习题12-5 477
第六节 傅里叶级数 477
一、三角级数、三角函数系的正交性 477
二、函数展开成傅里叶级数 478
三、正弦级数和余弦级数 482
习题12-6 485
第七节 一般周期函数的傅里叶级数 485
习题12-7 488
第八节综合例题 488
复习题十二 492
附录 497
附录A数学软件介绍 497
第一节MATLAB软件使用简介 498
一、基本操作 498
二、基本运算 500
三、函数作图 502
四、符号微积分 504
第二节Mathematica软件使用简介 507
一、基本操作 507
二、基本运算 509
三、二维图形 510
四、M athematica在微积分中的应用 510
附录B二阶和三阶行列式简介 514
附录C极坐标简介 516
附录D部分习题参考答案与提示 520
参考文献 563