1证明的方法 1
1.1反证法 1
1.2数学归纳法 3
1.3鸽笼原理 9
1.4有序集与极值元素 12
1.5不变量与半不变量 15
2代数学 21
2.1恒等式与不等式 21
2.1.1代数恒等式 21
2.1.2 x2 ≥0 24
2.1.3 Cauchy-Schwarz不等式 27
2.1.4三角形不等式 30
2.1.5算术平均-几何平均不等式 32
2.1.6 Sturm原理 35
2.1.7其他不等式 37
2.2多项式 38
2.2.1预备知识 38
2.2.2 Viete关系 40
2.2.3多项式的导数 43
2.2.4多项式零点的定位 45
2.2.5不可约多项式 47
2.2.6 Chebyshev多项式 49
2.3线性代数 52
2.3.1矩阵的运算 52
2.3.2行列式 53
2.3.3逆矩阵 58
2.3.4线性方程组 62
2.3.5向量空间，向量的线性组合，基 65
2.3.6线性变换，特征值，特征向量 67
2.3.7 Cayley-Hamilton与Perron-Frobenius定理 70
2.4抽象代数学 75
2.4.1二元运算 75
2.4.2群 78
2.4.3环 81
3实分析 83
3.1数列与级数 83
3.1.1典型例题研究 83
3.1.2线性递归序列 85
3.1.3数列的极限 89
3.1.4关于数列极限的更多知识 94
3.1.5级数 100
3.1.6可压缩的级数与乘积 103
3.2连续性，导数与积分 107
3.2.1函数的极限 107
3.2.2连续函数 109
3.2.3中间值性质 112
3.2.4导数及其应用 114
3.2.5中值定理 118
3.2.6凸函数 121
3.2.7不定积分 126
3.2.8定积分 128
3.2.9 Riemann和 130
3.2.10积分不等式 133
3.2.11 Taylor级数与Fourier级数 136
3.3多元微积分 142
3.3.1偏导数及其应用 142
3.3.2多元积分 148
3.3.3 Stokes定理的许多等价形式 152
3.4以函数作为未知数的方程 157
3.4.1函数方程 157
3.4.2一阶常微分方程 162
3.4.3高阶常微分方程 165
3.4.4用微分方程方法解答的问题 167
4几何学与三角学 170
4.1几何学 170
4.1.1向量 170
4.1.2直线与圆的坐标几何学 174
4.1.3平面上的圆锥曲线与其他曲线 179
4.1.4三维与多维的坐标几何学 185
4.1.5几何学中的积分 189
4.1.6其他的几何学问题 192
4.2三角学 194
4.2.1三角恒等式 194
4.2.2 Euler公式 197
4.2.3三角代换 200
4.2.4三角学中压缩的和与积 203
5数论 206
5.1整数值的数列与函数 206
5.1.1某些一般问题 206
5.1.2 Fermat无限下降原理 208
5.1.3最大整数函数 210
5.2算术 212
5.2.1因式分解与可除性 212
5.2.2素数 213
5.2.3模算术 216
5.2.4 Fermat小定理 218
5.2.5 Wilson定理 221
5.2.6 Euler互素函数 222
5.2.7中国剩余定理 225
5.3 Diophantine方程 226
5.3.1线性Diophantine方程 226
5.3.2 Pythagoras方程 229
5.3.3 Pell方程 231
5.3.4其他的Diophantine方程 233
6组合学与概率 235
6.1集合论与几何学中的组合论证 235
6.1.1集合论与集合的组合学 235
6.1.2置换 237
6.1.3组合几何学 239
6.1.4平面图形的Euler公式 241
6.1.5 Ramsey理论 244
6.2二项式系数与计数方法 246
6.2.1组合恒等式 246
6.2.2母函数 249
6.2.3计算策略 252
6.2.4容斥原理 258
6.3概率 260
6.3.1等可能情形 260
6.3.2建立概率中的关系式 263
6.3.3几何概率 267
解答 271
证明的方法 273
代数学 304
实分析 396
几何学与三角学 526
数论 587
组合学与概率 635
符号索引 694
术语索引 696