第一章 绪论 1
1.1反常扩散的定义 1
1.2自然界和工程中的反常扩散现象 1
1.3研究历史与现状 2
1.3.1反常扩散建模与应用 2
1.3.2反常扩散的数值模拟方法 6
第二章 反常扩散建模概述 9
2.1反常扩散物理基础 9
2.2非线性扩散模型 9
2.2.1非线性模型Ⅰ 9
2.2.2非线性模型Ⅱ 10
2.3变系数扩散模型 10
2.3.1考虑扩散系数时间依赖性的模型 10
2.3.2考虑边界条件时间依赖性的模型 11
2.4随机行走模型 12
2.5分数阶扩散模型 12
第三章 分数阶扩散模型基础 14
3.1分数阶导数与分形导数 14
3.1.1分数阶微积分的定义 15
3.1.2分数阶微积分的性质 16
3.1.3变阶与随机阶积分和导数的定义、分形导数定义 17
3.1.4分形导数的定义 19
3.2分数阶Fick定律、微分方程模型及其统计表示 19
3.3多尺度反常扩散建模 23
3.3.1分布式导数扩散模型 23
3.3.2数值算例与讨论 25
3.4分数阶导数模型与分形导数模型的比较 28
3.4.1理论分析 28
3.4.2数值算例 30
3.4.3小结 32
第四章 变导数反常扩散模型 33
4.1变导数研究简介 33
4.2变导数反常扩散模型的分类与应用分析 33
4.2.1时间依赖形式的变导数模型 34
4.2.2空间依赖形式的变导数模型 36
4.2.3浓度依赖形式的变导数模型 37
4.2.4系统参数依赖形式的变导数模型 38
4.2.5变导数反常扩散模型的统计特征 39
4.2.6讨论 41
4.3模糊系统观点 41
4.3.1问题的提出 41
4.3.2模糊分数阶系统 42
4.3.3算例分析 44
4.4随机导数模型 46
4.4.1研究意义 46
4.4.2随机导数耗散模型 47
4.4.3随机导数反常扩散模型 50
4.4.4随机导数模型的统计特性及其应用 51
4.4.5讨论 54
第五章 分数阶导数方程模型的反问题 56
5.1反问题简述 56
5.1.1反问题的求解 57
5.1.2分数阶导数方程的五类反问题 58
5.1.3小结 62
5.2参数反问题 62
5.2.1 Levenberg-Marquardt算法求解 62
5.2.2参数反演问题的同伦算法 68
5.2.3数值算例 71
5.2.4小结 73
5.3最佳摄动法求解源项反问题 73
5.3.1源项反问题 74
5.3.2最佳摄动量法 76
5.3.3数值算例 78
第六章 分数阶反常扩散方程的计算方法 81
6.1分数阶反常扩散方程的算法简介 81
6.2一些分数阶反常扩散方程的解析解 81
6.2.1 Mittag-Leffler函数简介 81
6.2.2分数阶耗散模型的解析解 82
6.2.3分数阶扩散模型的解析解 83
6.3时间分数阶反常扩散方程的有限差分算法 84
6.4基于有限单元法的时间分数阶反常扩散方程半解析算法 86
6.4.1算法框架 87
6.4.2数值算例 90
6.4.3讨论 96
6.4.4小结 97
6.5空间分数阶反常扩散方程的有限单元法 97
6.5.1模型描述 98
6.5.2变分形式 99
6.5.3有限元求解 99
6.5.4 数值算例 102
6.5.5问题与讨论 105
6.5.6附录 106
第七章 反常扩散的非常规统计建模方法 110
7.1 Levy稳定分布 110
7.1.1 Levy稳定分布的特征函数 111
7.1.2 Levy稳定分布的密度函数和稳定分布函数 112
7.1.3 Levy稳定分布的随机数 117
7.1.4 Levy稳定分布的参数估计 118
7.2扩展Gaussian分布 121
7.3 Tsallis分布 122
7.3.1 Tsallis熵的引入 122
7.3.2 Tsallis熵的非广延性 123
7.3.3 Tsallis熵与广义微分算子的关系 123
7.3.4 Tsallis分布 124
7.4 Mittag-Leffler分布 125
7.4.1 Mittag-Leffler函数 125
7.4.2单参数的Mittag-Leffler分布 127
7.4.3双参数的Mittag-Leffler分布 127
7.4.4 Mittag-Leffler随机数的生成 128
7.5 Levy稳定分布Matlab工具箱 129
7.5.1建模功能模块 130
7.5.2图形界面功能模块 133
第八章 随机行走模型 136
8.1连续时间随机行走模型 136
8.1.1连续随机行走模型理论基础 136
8.1.2随机行走模型的蒙特卡洛模拟 138
8.2分形结构介质中的反常扩散 139
8.2.1研究背景 139
8.2.2分形介质扩散基本概念 139
8.2.3分形结构构造 141
8.2.4分形结构中的随机行走 142
8.2.5 分形结构中的随机行走模型参数确定 152
第九章 流体力学和水文中的反常扩散 156
9.1分数阶扩散模型在地下含水层溶质迁移过程模拟中的应用 156
9.2水工建筑物混凝土氯离子侵蚀 159
9.2.1混凝土中氯离子扩散模型 160
9.2.2时间分数阶扩散方程中的参数获得 161
9.2.3结果与讨论 162
9.2.4小结 165
9.3分形导数Richards模型在非饱和土壤水分运移过程研究中的应用 166
9.3.1模型描述 166
9.3.2讨论 171
9.3.3小结 172
9.4分数阶扩散模型在水流含沙量垂向分布研究中的应用 172
9.4.1模型描述 172
9.4.2实验数据分析 174
9.4.3讨论 178
第十章 反常扩散在其他领域中的应用 180
10.1量子物理中的反常扩散 180
10.1.1薛定谔方程 180
10.1.2空间分数阶薛定谔方程 181
10.1.3时间分数阶薛定谔方程 181
10.1.4分数阶薛定谔方程的相关变换 182
10.1.5国内外其他研究进展 183
10.2生物流体力学中的反常扩散现象 184
10.2.1生物渗流力学中的反常扩散 184
10.2.2心肌细胞内钙火花反常扩散 184
10.2.3药物控释反常扩散 185
10.2.4多孔介质干燥过程中湿分的反常扩散 185
10.3复杂介质中的反常热传导过程分析 186
10.3.1非傅里叶热传导 187
10.3.2多孔介质中传热传质现象 188
第十一章 结论与展望 190
11.1结论 190
11.2研究展望 191
参考文献 192