第一章 跨世纪的拓扑学：低维流形 1
1．拓扑学序幕 1
1.1 Leonhard Euler，圣彼得堡，1736年 1
1.2 Leonhard Euler，柏林，1752年 2
1.3 Augustin Cauchy，巴黎理工学校（？cole Polytechnique），1825年 3
1.4 Carl Friedrich Gauss，哥廷根，1833年 4
2．二维流形 4
2.1 Simon L'Huilier，日内瓦皇家学院，1812—1813年 5
2.2 Niels Henrik Abel，挪威，19世纪20年代 5
2.3 Bernhard Riemann，哥廷根，1857年 6
2.4 August Ferdinand M？bius，莱比锡，1863年 7
2.5 Walther Dyck，慕尼黑，1888年 9
2.6 Henri Poincaré，巴黎，1881—1907年 10
2.7 Paul Koebe，柏林，1907年 10
2.8 Hermann Weyl，哥廷根，1913年 11
2.9 Tibor Radó，Szeged，1925年 11
3．三维流形 12
3.1 Poul Heegaard，哥本哈根，1898年 12
3.2 Poincaré，巴黎，1904年：Poincaré猜想 12
3.3 James W.Alexander，普林斯顿，20世纪20年代 13
3.4 Hellmuth Kneser，格赖夫斯瓦尔德（Greifswald），1929年 13
3.5 Herbert Seifert，莱比锡，1933年 14
3.6 Edwin Moise，密西根大学，1952年 14
3.7 Christos Papakyriakopoulos，普林斯顿，1957年 15
3.8 Wolfgang Haken，慕尼黑，Friedhelm Waldhausen，波恩，20世纪60年代 15
3.9 George D.Mostow，耶鲁，1968年 16
3.10 William Thurston，普林斯顿，20世纪70年代后期 17
3.11 William Jaco，Peter Shalen，Klaus Johannson，20世纪70年代后期 18
3.12 Thurston，1982年：几何化猜想 18
3.13 Richard Hamilton，康奈尔大学，1982年 19
3.14 Grigori Perelman，圣彼得堡，2003年 20
4．四维流形 20
4.1 A.A.Markov Jr，莫斯科，1958年 20
4.2 J.H.C.Whitehead，牛津，1949年 21
4.3 Vladimir Rokhlin，莫斯科，1952年 22
4.4 Michael Freedman，加州大学圣迭戈分校，1982年 22
4.5 Simon Donaldson，牛津，1983年 23
4.6 Clifford Taubes，哈佛，1987年 24
4.7 结语：接下来会是什么？ 24
5．附录：各节的进一步注记 24
6．致谢 32
7．图片致谢 33
8．参考文献 35
第二章 四十六年后的微分拓扑学 43
1．主要进展 43
2．Poincaré猜想：三个版本 45
3．更多细节 49
4．参考文献 51
第三章 五十年前：五十和六十年代的流形拓扑学 55
1．三维流形 55
2．更高维 57
3．为什么高维常常更容易？ 61
4．来自听众的问题 62
5．参考文献 66
第四章 Poincaré猜想 71
1．简介 71
2．早期的失误 72
3．更高维数 74
4．Thurston几何化猜想 76
5．微分几何和微分方程的途径 76
6．参考文献 77
第五章 走向Poincaré猜想和三维流形的分类 83
1．Poincaré问题 83
2．基于分片线性方法的结果 84
3．常曲率流形 87
4．Thurston的几何化猜想 89
5．Ricci流 91
6．参考文献 93
第六章 Hilbert第18问题：关于晶体群、基本域和装球 99
1．在n维欧氏空间中……是否仅有有限多个本质上不同的有（紧致）基本域的运动群？ 99
2．是否也存在着这样的多面体，它们不是运动群的基本域，而其全等的复本充满（欧氏）空间？ 104
3．人们怎么样才能在空间中最密实地安排给定形状的无限多个相同的物体，如给定半径的球……即人们如何将它们挤在一起使得被填充的和未填充的空间比尽可能大？ 105
4．参考文献 109
第七章 Nash的诺贝尔奖 111
1．博弈论 112
2．游戏 116
3．几何和分析 118
4．后记 120
5．致谢 120
6．参考文献 121
7．John F.Nash发表的文章 122
第八章 双曲几何：前150年 123
1．正文 123
2．附录．双曲三维空间的体积问题 132
3．参考文献 138
第九章 在古老的Fine Hall中成长 143
1．正文 143
2．参考文献 154
第十章 拓扑流形与光滑流形 157
1．正文 157
2．参考文献 164
第十一章 关于三维Brieskorn流形M（p,q,r） 167
1．简介 167
2．Schwarz三角群∑＊？∑ 169
3．中心扩张的三角群Г（p,q,r） 174
4．球面情形p-1+q-1+r-1＞1 179
5．分数次自守微分形式 183
6．双曲情形p-1+q-1+r-1＜1 192
7．纤维化准则 197
8．幂零流形情形p-1+q-1+r-1=1 201
9．参考文献 202
第十二章 微分几何中的问题 207
微分几何 207
1．（自相交）肥皂泡问题 207
2．理解标量曲率R＝∑gikgjlRijkl 208
3．理解Ricci曲率张量Rik＝∑gjlRijkl 208
4．正截面曲率的流形 209
5．参考文献 210
对1974年问题列表的更新 212
6．三维空间中曲面的平均曲率 212
7．标量曲率 212
8．Ricci曲率 212
9．截面曲率 213
10．参考文献 213
第十三章 微分拓扑 215
1．流形的嵌入和浸入 216
2．向量空间丛 230
3．Thom协边理论 245
4．参考文献 254
索引 257