第1章矩阵 1
内容导引 1
1.1矩阵的概念 3
1.1.1矩阵的定义 4
1.1.2矩阵的相等 5
1.1.3几种特殊的矩阵 6
练习 8
1.2矩阵的运算 8
1.2.1矩阵的加法 8
1.2.2数与矩阵相乘 9
1.2.3矩阵与矩阵相乘 10
1.2.4矩阵的转置 15
1.2.5矩阵的逆 17
练习 20
1.3初等变换与初等矩阵 20
1.3.1初等变换 20
1.3.2矩阵的等价、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 22
1.3.3初等矩阵 25
1.3.4初等变换的应用 30
练习 32
1.4分块矩阵 33
1.4.1分块矩阵的定义 33
1.4.2分块矩阵的运算 34
1.4.3矩阵的按行分块与按列分块 37
练习 40
1.5矩阵的创建及操作实验 40
1.5.1矩阵的创建 40
1.5.2矩阵及其元素的修改 44
1.5.3矩阵的数据操作 46
1.5.4矩阵的加减、数乘、转置运算 47
1.5.5矩阵乘法、矩阵的逆运算 48
1.5.6化行最简形矩阵的运算 49
1.5.7课后实验 50
1.6应用实例 51
1.6.1引例的解 51
1.6.2实例1：人口变迁问题 53
1.6.3实例2：试剂配制问题 55
综合练习1 56
第2章 行列式与矩阵的秩 59
内容导引 59
2.1二阶、三阶行列式 61
2.1.1二阶行列式 61
2.1.2三阶行列式 62
练习 64
2.2 n阶行列式 65
2.2.1排列、逆序和对换 65
2.2.2 n阶行列式的定义 67
练习 68
2.3行列式的性质 69
练习 74
2.4行列式按行（列）展开 75
2.4.1余子式和代数余子式 75
2.4.2行列式按行（列）展开 76
练习 81
2.5方阵的行列式 82
2.5.1方阵的行列式 82
2.5.2伴随矩阵 84
2.5.3矩阵可逆的条件 85
2.5.4方阵的m次多项式 87
练习 89
2.6矩阵的秩 90
2.6.1矩阵秩的定义 90
2.6.2矩阵秩的求法 92
2.6.3矩阵秩的性质 94
练习 95
2.7行列式与矩阵的秩运算实验 96
2.7.1行列式的运算 96
2.7.2求矩阵的秩、方阵的幂运算 97
2.7.3求矩阵的伴随矩阵运算 98
2.7.4课后实验 99
2.8应用实例 99
2.8.1引例的解 99
2.8.2实例1：欧拉四面体的体积计算问题 100
2.8.3实例2：矩阵秩判定齐次马尔可夫链的遍历性问题 101
综合练习2 104
第3章向量组与线性方程组 108
内容导引 108
3.1克拉默法则 110
3.1.1线性方程组的基本概念 110
3.1.2克拉默法则 111
练习 115
3.2线性方程组的解 117
练习 129
3.3向量组及其线性组合 130
3.3.1 n维向量 130
3.3.2向量组 132
3.3.3向量组的线性组合 133
练习 138
3.4向量组的线性相关性 139
3.4.1线性相关与线性无关 139
3.4.2线性相关性的有关性质 144
3.4.3线性表示、线性相关、线性无关三者之间的关系 147
练习 148
3.5向量组的秩 149
练习 155
3.6线性方程组解的结构 156
3.6.1齐次线性方程组解的结构 157
3.6.2非齐次线性方程组解的结构 163
练习 166
3.7向量组与线性方程组实验 167
3.7.1向量组的线性相关性判别 167
3.7.2解线性方程组的运算 168
3.7.3课后实验 170
3.8应用实例 171
3.8.1引例的解 171
3.8.2实例1：糖果配制问题 172
3.8.3实例2：商品交换问题 175
综合练习3 176
第4章 矩阵的特征值与二次型 181
内容导引 181
4.1向量的内积与线性变换 183
4.1.1向量的内积、长度及正交性 183
4.1.2正交向量组 185
4.1.3正交矩阵 190
4.1.4线性变换 191
练习 192
4.2特征值与特征向量 193
4.2.1特征值与特征向量的概念 193
4.2.2特征值与特征向量的求法 193
4.2.3特征值与特征向量的性质 196
练习 202
4.3相似矩阵与方阵可对角化的条件 203
4.3.1相似矩阵的概念 203
4.3.2方阵可对角化的充要条件 205
练习 210
4.4实对称阵的对角化 211
练习 217
4.5二次型及其标准形 218
4.5.1二次型的矩阵表示 219
4.5.2用正交变换法化二次型为标准形 221
4.5.3用配方法化二次型成标准形 226
4.5.4正定二次型 228
练习 231
4.6矩阵的特征值与二次型实验 232
4.6.1矩阵的特征值、特征向量运算 233
4.6.2矩阵的对角化运算 234
4.6.3二次型化标准形运算 235
4.6.4课后实验 236
4.7应用实例 236
4.7.1引例的解 236
4.7.2实例1：兔子和狐狸的生态模型 237
4.7.3实例2：二次型的有定性判别多元函数的极值问题 238
综合练习4 240
第5章 向量空间与线性变换 243
内容导引 243
5.1向量空间的定义 245
5.1.1向量空间的基本概念 245
5.1.2向量空间的子空间 247
练习 247
5.2向量空间的基、维数和坐标 248
5.2.1向量空间的基、维数 248
5.2.2向量空间的坐标 249
练习 252
5.3基变换与坐标变换 252
5.3.1基变换 252
5.3.2坐标变换 255
练习 256
5.4线性变换 257
5.4.1线性变换的定义 257
5.4.2线性变换的性质 257
5.4.3线性变换的矩阵 258
5.4.4线性变换的应用 261
练习 262
5.5应用实例 263
5.5.1引例的解 263
5.5.2实例：调味品的配制问题 264
综合练习5 266
附录 267
附录A MATLAB软件实验环境简介 267
附录B线性代数发展简介 273
附录C线性代数发展相关的部分数学家简介 278
参考文献 289