1.1 问题的数学描述 1
第一章 绪论 1
1.2 数学模型方法 2
1.2.1 数学模型的用途 2
1.2.2 数学模型的分类 3
1.2.3 机理模型化方法的原则步骤 4
1.3 本书的内容架构 4
2.1 变量可分离的微分方程 6
2.1.1 概念和定义 6
第二章 常微分方程 6
2.1.2 分离变量法 7
2.2 线性微分方程 8
2.2.1 一阶线性微分方程 8
2.2.2 特殊类型的一阶线性微分方程 15
2.3 高阶微分方程 17
2.3.1 线性微分方程解的结构 18
2.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的余函数 20
2.3.3 n阶常系数齐次线性微分方程的余函数 21
2.3.4 常系数非齐次线性微分方程的特解 22
2.3.5 特殊类型变系数方程的解法 29
2.4 微分方程的级数解 42
2.4.1 幂级数 43
2.4.2 傅里叶级数 47
练习题 50
参考文献 51
第三章 复变函数概述 52
3.1 复数的代数运算 52
3.1.1 复数的表示法 52
3.1.2 复数的运算 54
3.2.1 复变函数的基本概念 59
3.2 复变函数 59
3.2.2 基本超越函数 62
3.2.3 复变函数的导数 66
3.3 解析函数 68
3.3.1 解析函数的基本概念 68
3.3.2 解析函数和调和函数 70
3.4 复变函数积分和柯西定理 72
3.4.1 复变函数的积分 72
3.4.2 柯西积分定理 72
3.5.1 泰勒级数 77
3.5 泰勒级数和罗朗级数 77
3.5.2 罗朗级数 78
3.6 留数理论 82
3.6.1 留数的定义和计算 82
3.6.2 计算极点的留数 83
3.6.3 应用留数定理计算实变函数的积分 85
练习题 92
参考文献 93
4.1.1 矢量函数的基本概念 94
4.1 矢量函数 94
第四章 矢量分析与场论 94
4.1.2 矢量函数的导数和积分 96
4.2 数量场与矢量场 100
4.2.1 数量场 100
4.2.2 矢量场 104
4.2.3 正交曲线坐标系中梯度、散度和旋度 113
4.3 二阶张量 117
4.3.1 张量的概念 117
4.3.2 张量的代数运算 124
4.3.3 矢量场的梯度与张量场的散度 126
4.4 化学工程中常用的矢量场 130
4.4.1 无旋场（有势场） 131
4.4.2 无源场（管形场） 132
4.4.3 调和场 133
4.4.4 格林公式 138
4.5 场论在化学工程中的应用 138
4.5.1 描述流体运动的两种方法 138
4.5.2 物理量的质点导数 145
4.5.3 化工系统中数理模型的建立 147
4.5.4 场论在化学工程中的应用 150
练习题 158
参考文献 160
第五章 积分变换 161
5.1 概述 161
5.2 傅里叶变换 163
5.2.1 傅里叶积分 163
5.2.2 傅里叶变换的定义和δ函数 167
5.2.3 傅里叶变换的性质 171
5.2.4 多维傅里叶变换 174
5.3 拉普拉斯变换 179
5.3.1 拉普拉斯变换的性质 180
5.3.2 拉普拉斯逆变换 188
5.3.3 拉普拉斯变换的应用 195
练习题 204
参考文献 205
第六章 偏微分方程与特殊函数 206
6.1 方程的分类及一般性问题 206
6.1.1 偏微分方程的分类 206
6.1.2 定解条件和定解问题 210
6.2.1 波动方程 218
6.2 典型偏微分方程的建立 218
6.2.2 输运方程 222
6.2.3 稳态方程 226
6.3 分离变量法 228
6.3.1 用傅里叶展开分离变量 228
6.3.2 斯图姆－刘维尔型方程的本征值问题 233
6.3.3 齐次偏微分方程的分离变量法 236
6.4 非齐次线性偏微分方程和非齐次边界条件 244
6.4.1 非齐次偏微分方程 244
6.4.2 非齐次边界条件的处理 250
6.5.1 柱贝塞尔方程的引出 256
6.5 柱坐标系中的分离变量法 256
6.5.2 柱贝塞尔方程的解 259
6.5.3 柱贝塞尔函数的性质 265
6.5.4 柱贝塞尔方程及其解的一般形式 272
6.5.5 柱贝塞尔函数应用举例 273
6.6 球坐标系中的分离变量法 280
6.6.1 勒让德方程的引出 280
6.6.2 勒让德方程的解 284
6.6.3 勒让德多项式和傅里叶－勒让德级数 287
6.6.4 关联勒让德函数与一般球函数 291
6.6.5 球贝塞尔方程 296
6.6.6 勒让德函数的应用举例 298
练习题 304
参考文献 305
第七章 点源法 306
7.1 δ函数 306
7.2 冲量定理及其应用 311
7.3 波动方程和输运方程的格林函数法 315
7.3.1 波动方程的格林函数法 316
7.3.2 输运方程的格林函数法 318
7.4.1 泊松方程的格林函数 320
7.4 泊松方程和拉普拉斯方程的格林函数法 320
7.4.2 格林函数的性质 324
7.4.3 泊松方程的积分公式 325
7.4.4 拉普拉斯方程的积分公式 327
练习题 331
参考文献 331
第八章 无界空间的定解问题 332
8.1 齐次波动方程的行波法 332
8.1.1 一维波动方程的达朗伯公式 332
8.1.2 三维波动方程的泊松公式 336
8.1.3 二维波动方程的柱面波 339
8.2 非齐次方程的点源法 340
8.2.1 无界空间的泊松方程 340
8.2.2 无界空间的非齐次输运方程 341
8.2.3 无界空间的非齐次波动方程的推迟势 342
练习题 344
参考文献 345
第九章 变分法 346
9.1 变分法的基本问题和泛函的变分 346
9.1.1 古典变分问题举例 346
9.1.2 泛函的基本概念 348
9.1.3 泛函的极值和欧拉方程 352
9.1.4 泛函的条件极值 361
9.2 变分问题的直接法——里茨法 368
9.3 变分法在化学工程中的应用 375
9.3.1 最小作用原理及其应用 375
9.3.2 变分法在本征值问题中的应用 378
练习题 385
参考文献 386
10.1.1 差分法的基本概念 387
10.1 差分法概念和基本差分格式 387
第十章 偏微分方程的差分法 387
10.1.2 基本差分格式 392
10.2 差分方程的稳定性 404
练习题 409
参考文献 411
附录一 412
拉普拉斯变换表1 412
拉普拉斯变换表2 414
附录二 416
练习题答案 416