第1章 矢量分析与场论初步 1
1.1 矢量函数及其导数与积分 1
1.1.1 矢量函数 1
1.1.2 矢量函数的极限与连续性 3
1.1.3 矢量函数的导数和积分 5
1.2 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式 11
1.2.1 直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子 11
1.2.2 正交曲线坐标系中的“三度” 20
1.2.3 “三度”的运算公式 25
1.3 正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式 27
1.4 算子方程 29
第2章 数学物理定解问题 39
2.1 基本方程的建立 39
2.1.1 均匀弦的微小横振动 39
2.1.2 均匀膜的微小横振动 41
2.1.3 传输线方程 43
2.1.4 电磁场方程 45
2.1.5 热传导方程 46
2.2 定解条件 48
2.2.1 初始条件 49
2.2.2 边界条件 49
2.3 定解问题的提法 52
2.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简 53
2.4.1 两个自变量方程的分类与化简 53
2.4.2 常系数偏微分方程的进一步简化 61
2.4.3 线性偏微分方程的叠加原理 63
第3章 分离变量法 65
3.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 65
3.1.1 有界弦的自由振动 65
3.1.2 有限长杆上的热传导 75
3.2 2维Laplace方程的定解问题 80
3.3 高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用 86
3.4 非齐次方程的解法 92
3.4.1 固有函数法 92
3.4.2 冲量法 101
3.4.3 特解法 105
3.5 非齐次边界条件的处理 107
第4章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 118
4.1 二阶常微分方程系数与解的关系 118
4.2 二阶常微分方程的级数解法 119
4.2.1 常点邻域内的级数解法 119
4.2.2 正则奇点邻域内的级数解法 122
4.3 Legendre方程的级数解 123
4.4 Bessel方程的级数解 126
4.5 Sturm-Liouville本征值问题 132
第5章 特殊函数（一） Legendre多项式 140
5.1 正交曲线坐标系中的分离变量法 140
5.1.1 Laplace方程 140
5.1.2 Helmholtz方程 145
5.2 Legendre多项式及其性质 148
5.2.1 Legendre多项式的导出 148
5.2.2 Legendre多项式的性质 149
5.3 Legendre多项式的应用 156
5.4 一般球函数 158
5.4.1 关联Legendre函数 159
5.4.2 球函数 160
第6章 特殊函数（二） Bessel函数 172
6.1 Bessel函数的性质及其应用 172
6.1.1 柱函数 172
6.1.2 Bessel函数的性质 173
6.1.3 修正Bessel函数 181
6.1.4 Bessel函数的应用 183
6.2 球Bessel函数 194
6.3 柱面波与球面波 201
6.3.1 柱面波 202
6.3.2 球面波 204
6.4 可化为Bessel方程的方程 206
6.5 其他特殊函数方程简介 212
6.5.1 Hermite多项式 212
6.5.2 Laguerre多项式 214
第7章 行波法与积分变换法 217
7.1 一维波动方程的d′Alembert公式 217
7.2 三维波动方程的Poisson公式 220
7.3 Fourier积分变换法求定解问题 229
7.3.1 预备知识——Fourier变换及性质 229
7.3.2 Fourier变换法 231
7.4 Laplace变换法解定解问题 234
7.4.1 Laplace变换及其性质 234
7.4.2 Laplace变换法 235
第8章 Green函数法 242
8.1 引言 242
8.2 Poisson方程的边值问题 243
8.2.1 Green公式 243
8.2.2 解的积分形式——Green函数法 244
8.2.3 Green函数关于源点和场点是对称的 248
8.3 Green函数的一般求法 249
8.3.1 无界区域的Green函数 249
8.3.2 用本征函数展开法求边值问题的Green函数 251
8.4 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数 252
8.4.1 Poisson方程的Dirichlet-Green函数及其物理意义 252
8.4.2 用电像法求Green函数 254
8.5 含时间的定解问题的Green函数 257
第9章 变分法 265
9.1 泛函和泛函的极值 265
9.1.1 泛函 265
9.1.2 泛函的极值与泛函的变分 266
9.1.3 泛函取极值的必要条件——Euler方程 267
9.1.4 复杂泛函的Euler方程 271
9.1.5 泛函的条件极值问题 275
9.1.6 求泛函极值的直接方法——Ritz方法 280
9.2 用变分法解数学物理方程 284
9.2.1 本征值问题和变分问题的关系 284
9.2.2 通过求泛函的极值来求本征值 286
9.2.3 边值问题与变分问题的关系 289
9.3 与波导相关的变分原理及近似计算 292
9.3.1 共振频率的变分原理 292
9.3.2 波导的传播常数γ的变分原理 294
9.3.3 任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算 295
第10章 积分方程的一般性质和解法 308
10.1 积分方程的概念与分类 308
10.2 积分方程的迭代解法 310
10.2.1 第二类Volterra方程的迭代解法 310
10.2.2 第一类Volterra方程的迭代解法 312
10.2.3 第二类Fredholm方程的迭代解法 313
10.2.4 叠核、预解核 316
10.3 退化核方程的求解 317
10.4 弱奇异核的Abel方程的解法 321
10.5 对称核的Fredholm方程 323
10.6 微分方程与积分方程的联系 326
10.6.1 二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系 326
10.6.2 微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系 327
参考文献 331