第二部分 平面解析几何 165
引言 165
37 关於在笛卡儿坐标中用有两个变数的方程表示的曲线。曲线的参数方程 165
1．解析几何的基本观念 165
2．在笛卡儿坐标中用方程表示的曲线。例子 166
3．曲线的参数方程 169
4．曲线的交点 170
5．在笛卡儿坐标变换下曲线方程的变换 170
1．代数曲线和超越曲线 171
38 代数曲线和超越曲线 171
2．代数曲线的方程的次数 172
第三章 平面上的直线 173
第一篇 平面上直线的方程 173
39 直线，作为一阶曲线 173
40 表示同一条直线的一次方程 175
41 直线按它的方程的作图 177
42 按各种已知条件求直线的方程 178
1．已知斜率和纵轴上的截距。线性函数 179
2．已知一个点和方向向量。直线的参数方程 179
4．已知两个点。三个点共线的条件 180
3．已知一个点和斜率 180
43 把点的坐标代入直线方程左边的结果 182
5．已知两条坐标轴上的截距 182
1．三项式4x+By+C的正负号的几何意义 183
2．线性不等式的几何意义 184
3．三项式Ax+By+C的绝对值的几何意义 185
4．线段被直线所分成的比值。已知新笛卡儿坐标轴的方程求坐标变换 185
44а 直线的法化方程。从点到直线的距离（第一种讲法） 187
1．法化因子 187
5．直线方程法化的问题 187
2．直线的法化方程。从点到直线的距离 188
3．向量（A,B），作为线性函数Ax+By+C的梯度 189
4．在一般笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化 189
5．直线方程的海色法线式 189
44б 直线的法化方程。从点到直线的距离（第二种讲法） 191
1．直线方程的度量解释 191
2．法化因子。直线的法化方程。直线方程的海色法线式 192
3．从点到直线的距离 193
45 平面上两条直线相互位置的三种可能情形。平行的条件。两条直线的交点 194
1．两条直线重合的条件 194
4．在一般的笛卡儿坐标系统的情形中，直线方程的法化 194
第二篇 平面上两条直线的相互位置 194
2．两条直线平行的条件 195
3．平面上区别两条直线相互位置的三种可能情形的普遍规则 195
4．两条直线的交点 196
46 平面上有顺序的一对方向中间的角 196
1．平面上两个方向中间的角和有顺序的一对方向中间的角 196
2．有顺序的一对由向量规定的方向中间的角；它的公式 197
47 平面上有顺序的一对直线中间的角。两条直线的垂直条件 198
1．平面上有顺序的一对直线中间的角；它用正切的规定法 198
3．两个方向的垂直条件 198
2．有顺序的一对直线中间角的正切，用这些直线在直角坐标里的斜率表达的公式 199
3．两条直线的垂直条件，用这两条直线在直角坐标里的斜率来表达的式子 199
4．有顺序的一对由普遍方程规定的直线中间的角，它的正切的公式和这样两条直线的垂直条件 200
第三篇 直线束。缩短记号的方法 202
48 直线束的方程 202
1．直线束 202
2．包含着两条已知直线的直线束的方程 202
3．直线束方程的研究 203
49 平面上三条直线相互位置的七种可能情形 204
50 平面上的直线和空间中的向量的对比 205
51 关於平面上的直线的缩短记号的方法。平面上任意直线的方程，作为组成三角形的三条直线方程的线性组合 206
第四篇 凸集合。线性不等式 207
52 凸集合。线性不等式组 207
1．凸集合的定义和例子 207
2．关於凸集合的交的定理 209
3．凸外盖 209
4．有限的点集合的凸外盖 210
5．线性不等式组的几何意义 211
53 三个线性不等式规定三角形的必要和充分的条件 213
第四章 椭圆，双曲线，抛物线 217
1．图形的仿射和度量性质 219
54 椭圆的仿射性质 219
第一篇 椭圆 219
2．任意的圆周，作为椭圆的特别情形 220
3．图形的对称中心 221
4．椭圆的中心 221
5．椭圆与直线的相交 222
6．椭圆的直径 222
7．共轭直径 223
55 椭圆的对称轴。椭圆，作为圆周压缩的结果和作为圆周的正射影 225
1．图形的对称轴 225
2．椭圆的两条对称轴的存在 225
3．椭圆作为圆周压缩的结果 225
4．在不是圆周的椭圆中只有两条对称轴 226
6．平面仿射变换的立方向 227
5．椭圆的半轴 227
7．椭圆作为圆周的正射影 228
56 关於椭圆的阿坡隆尼亚定理 229
1．关於椭圆的第一个阿坡隆尼亚定理 229
2．关於椭圆的第二个阿坡隆尼亚定理 229
1．平面上把椭圆变成自己的仿射变换用平面上把圆周变成自己的仿射变换来诱发 230
2．椭圆旋转 230
57 椭圆旋转、变换的诱发 230
3．椭圆旋转的角 231
4．平面上把椭圆变成自己的所有仿射变换的决定 231
5．变换诱发的普遍方法 232
6．椭圆旋转的公式 233
58 椭圆的标准方程和普遍形状 234
1．椭圆的标准方程 234
2．椭圆作为圆周压缩的结果 234
3．椭圆的中心、轴线和顶点 235
59 椭圆的直径（解析法） 236
1．椭圆与直线的相交 236
4．椭圆的面积 236
2．椭圆的直径 238
3．共轭直径 239
60 椭圆的焦点、离心率、准线和焦参数 240
1．椭圆的焦点和离心率 240
2．椭圆的准线 241
3．椭圆的焦参数 241
61 椭圆的焦点性质 242
62 椭圆的准线性质 244
1．曲线的切线 245
63 椭圆的切线 245
2．标准坐标里椭圆切线的方程 246
3．椭圆切线作为角的平分线的性质 248
64 椭圆的主要作图 251
1．仿射作图 251
2．用仿射方法来完成仿射作图 251
3．椭圆按着两个共轭半径的仿射作图 252
4．椭图按着轴线的作图 253
5．椭圆按着轴线的第二种作图 254
6．椭圆规 255
8．椭圆的参数方程 256
9．椭圆按着焦点和长轴的作图 256
7．雷翁那陀·达·芬奇的镟床头 256
10．椭圆用纸片摺叠的作图 257
11．椭圆的中心、轴线、焦点和准线按着它的周线的作图 258
12．已知切点的椭圆切线的作图 259
13．椭圆切线从椭圆外的点的作图 260
第二篇 双曲线 260
65 等边双曲线 260
1．等边双曲线的定义 260
2．等边双曲线对於渐近线的方程 261
3．等边双曲线对於渐近线的方程的几何意义 263
2．双曲线的渐近线 264
3．双曲线只有两条渐近线 264
66 双曲线的仿射性质：两个几何的定义，渐近线和中心 264
1．一般双曲线的两个几何的定义 264
4．双曲线的中心 265
5．共轭双曲线 265
6．共渐近线的双曲线族 266
67．双曲线的对称轴作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线 267
1．双曲线的对称轴 267
2．顶点，实轴和虚轴 268
3．双曲线的“外切长方形” 268
4．作为等边双曲线压缩结果的一般双曲线 269
1．双曲旋转的定义和总的描述 270
68 双曲旋转 270
2．夹在双曲线和它的渐近线中间的面积的无限性 272
3．把双曲线变成自己的任意仿射变换 272
69 双曲线的仿射性质：与直线的相交，直径 273
1．关於在双曲旋转下直线的变换的引理 273
2．双曲线与直线的相交 274
3．双曲线的直径 275
4．共轭直径 277
5．共轭方向的作图 278
2．关於双曲线的第二个阿坡隆尼亚定理 279
70 关於双曲线的阿坡隆尼亚定理 279
1．关於双曲线的第一个阿坡隆尼亚定理 279
71 双曲旋转的系数和角。双曲函数 280
1．双曲旋转的系数 280
2．双曲旋转的角 280
3．在双曲旋转的角和系数中间的函数关系 281
4．双曲函数 283
5．正双曲旋转的公式。用指数表示双曲函数的式子 284
6．一般双曲旋转的公式 285
1．双曲线的标准方程 286
7．罗伦兹变换 286
72 双曲线的标准方程和普遍形状 286
2．双曲线的中心和轴线 287
3．双曲线的分支和渐近线 288
73 双曲线的直径（解析法） 290
1．双曲线与直线的相交 290
2．双曲线的直径 292
3．共轭直径 294
1．双曲线的离心率 295
2．双曲线的焦点和准线 295
74 双曲线的离心率、焦点、准线和焦参数 295
3．双曲线的焦参数 296
75 双曲线的焦点性质 296
76 双曲线的准线性质 298
77 双曲线的切线 299
1．标准坐标里双曲线切线的方程 299
2．渐近线是双曲线的切线当切点远在无穷远处时的极限位置 301
3．双曲线切线作为平分线的性质 302
4．双曲线的切线从渐近线中间的角所截下的面积 303
78 双曲线的主要作图 303
1．双曲线按着渐近线和一个点的仿射作图 303
2．双曲线按着焦点和实轴的作图 304
3．双曲线用纸片摺叠的作图 305
4．双曲线的中心、轴线、焦点、渐近线和准线按着它的周线的作图 306
5．已知切点的双曲线切线的作图 308
6．双曲线切线从双曲线外一个点的作图 308
第三篇 抛物线 308
79 抛物线的普遍形状 308
80 抛物线的平行移动 311
1．从抛物线y＝kx2经过平行移动而得到的抛物线的普遍方程 311
2．通过三个点的抛物线的引进法 311
81 抛物旋转 313
82 抛物线与直线的相交。抛物线的直径 315
1．抛物线与直线的相交 315
2．抛物线的直径 316
3．与抛物线的直径共轭的方向 316
83 任意抛物线的对称轴。所有抛物线的相似 317
1．任意抛物线的对称轴的存在 317
2．在以任意抛物线的顶点为原点、以对称轴为纵轴的直角坐标系统里，这个抛物线的方程 317
3．所有抛物线的相似 319
84 把抛物线变成自己的仿射变换 319
85 抛物线的标准方程。焦点，准线和焦参数 320
1．抛物线的标准方程 321
2．焦点，准线和焦参数 322
86 抛物线的直径（解析法） 322
1．抛物线与直线的相交 323
2．抛物线的直径 323
87 抛物线的准线性质 325
88 抛物线的切线 326
1．标准坐标里抛物线切线的方程 326
2．抛物线切线作为平分线的性质 328
1．抛物线按着切线、通过切点的直径和一个点的作图 329
89 抛物线的主要作图 329
2．抛物线按焦点和准线的作图 331
3．抛物线用纸片摺叠的作图 331
4．抛物线的对称轴、焦点和准线按着它的周线的作图 332
5．已知切点的抛物线切线的作图 333
6．抛物线切线从抛物线外一个点的作图 333
第四篇 椭圆、双曲线和抛物线的族 334
90 共焦点的椭圆和双曲线 334
1．共焦点的椭圆和双曲线的族的方程 334
2．共焦点的椭圆族和共焦点的双曲线族的正交性 334
2．同位相似的椭圆族的方程 335
1．两个变数函数的平准线 335
91 同位相似的椭圆、双曲线和抛物线的族 335
3．共渐近线的双曲线族的方程 336
4．“同位相似”的抛物线 336
92 椭圆、双曲线和抛物线对於顶点和通过焦点的轴线说的方程 337
第五篇 椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的方程 338
93．极坐标 338
1．极坐标的定义 338
2．连系极坐标和直角坐标的公式 339
94 椭圆、双曲线和抛物线在极坐标里的焦点方程 340
3．在极坐标里的曲线方程的例子 340
第六篇 椭圆、双曲线和抛物线作为圆锥截线 341
95 圆锥截线 341
1．正圆锥曲面 341
2．圆锥与不同倾斜度的平面相交 341
3．椭圆作为圆锥截线 342
4．双曲线作为圆锥截线 343
5．抛物线作为圆锥截线 344
6．椭圆和双曲线的准线 344
96 二阶锥面 345
97 椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的透视 345
第五章 二阶曲线的一般理论 347
98 曲线的仿射分类的原则 348
1．图形的仿射类 348
第一篇 二阶曲线利用雅可比的配平方法的仿射分类 348
2．由已知次数的代数方程表达的曲线的仿射分类问题 349
99 用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状 350
1．仿射等价的多项式 350
2．用配平方的方法把带两个变数的二次多项式引向最简单的形状 351
100 二阶曲线的仿射分类 355
1．二阶曲线的八个仿射类 355
101 从二阶曲线的方程应用配平方的方法求它的仿射类和它在平面上的位置的一些例子 359
2．最简单的多项式的仿射不等价性 359
第二篇 二阶曲线的归范方程、标准方程和仿射分类 365
102 利用变数的正交变换把二元二次形式变成平方和 366
103 利用变数的正交变换把带两个变数的二次多项式变成归范多项式和标准多项式 367
1．变成归范多项式的变换 367
2．整理成标准形状 369
104 二阶曲线的仿射分类 372
1．在直角坐标里由标准方程表达的曲线 372
2．由同样形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射等价性 373
4．二阶曲线的仿射类 376
3．由不同形状的标准方程表达的二阶曲线的仿射不等价性 376
第三篇 二阶曲线标准方程的参数利用不变量的计算法 377
105 关於二次形式的变换的定理 377
1．二次形式的矩阵 377
2．在变数的齐次线性变换下二次形式的变换 378
3．在变数的齐次线性变换下二次形式的行列式的改变 380
106 带两个变数的二次多项式的前两个不变量 381
107 带两个变数的二次多项式的第三个不变量 384
108 半不变量 385
109 带两个变数的二次多项式的归范类型通过不变量和半不变量的检验法 389
110 归范多项式的系数通过不变量和半不变量的计算法 390
111 二阶曲线的类和它的标准方程利用不变量的决定法总表 394
112 特别情形：圆周、等边双曲线和一对垂直线的方法的检验法 400
1．表达圆周的二次方程的检验法 400
2．表达等边双曲线的二次方程的检验法 402
3．表达一对互相垂直的直线的二次方程的检验法 402
113 对於一般的笛卡儿坐标系统而言，带两个变数的二次多项式的度量不变量 403
1．度量不变量 403
2．前两个度量不变量 405
3．第三个度量不变量 406
4．度量半不变量 407
114 在已知度量的任意标架里，从二阶曲线的已知方程求它的标准方程 408
第四篇 在原来的直角坐标系统的标架里，二阶曲线的位置 409
115 二阶中心曲线位置问题的解决 410
1．把坐标原点平行移动到中心 410
2．椭圆和双曲线的轴线 412
3．一对相交的直线 414
4．双曲线的渐近线 415
5．例子 415
116 抛物线位置问题的解决 418
117 一对平行直线位置问题的解决 424
1．定义 428
第五篇 在复二维空间里的二阶曲线 428
118 关於复二维空间 428
2．直线的参数方程 429
3．平面上用方向向量的坐标来规定方向 430
4．变换成新的笛卡儿坐标 431
119 二阶曲线与直线的交点 432
120 二阶曲线的渐近方向。椭圆型、双曲型和抛物型曲线 435
1．渐近方向 435
2．关於首项系数趋向於零的二次方程的根的引理 435
3．二阶曲线的“无穷远点” 436
4．椭圆型、双曲型和抛物型曲线 437
121 二阶曲线的中心 439
1．决定中心的方程 439
2．中心的和非中心的二阶曲线 440
3．把坐标原点移到中心 441
122 二阶曲线的直径 443
1．与已知的非渐近方向共轭的直径 443
2．直径的方程 443
3．二阶中心曲线的直径 444
4．渐近线 446
5．二阶非中心曲线的直径 447
6．主直径 448
7．二阶中心曲线对於共轭直径说的方程 450
8．二阶非中心曲线对於直径和共轭方向的轴线说的方程 450
9．把实二阶曲线的方程引向标准形状 451
123 二阶曲线的切线 452
1．二阶曲线切线的代数形式上的定义 452
2．切线的方程 453
3．一对不重合直线的情形 454
4．切线和直径中间的关系 454
5．不可分解的二阶曲线、对於切线和通过切点的直径说的方程 454
索引 456