第一章 向量 1
Ⅰ 纲要 1
1 向量及其运算 1
一 向量概念 1
二 向量的代数运算 1
三 向量的分析运算 3
2 数学场论 6
一 数学场概念 6
二 数量场的梯度 6
三 矢量场的通量与散度 7
四 矢量场的环量与旋度 8
五 哈密顿算符 10
六 几个特殊场 10
七 柱坐标、球坐标系下的算符？与△ 12
Ⅱ 向量简史与基本问题 14
第二章 复变函数 17
Ⅰ 纲要 17
1 复变函数 17
一 复数 17
二 复变函数 19
〔附〕黎曼曲面与区域的概念 19
三 初等函数 20
四 解析函数 21
2 复变函数的积分 24
一 一般复变函数的积分 24
二 解析函数的积分 24
3 幂级数展开 27
一 有关概念 27
二 幂级数 29
三 解析函数的泰勒展开与解析延拓 30
四 解析函数的罗朗展开 31
五 孤立奇点的分类 32
一 基本概念 34
二 留数基本定理 34
六 解析函数的分类 34
4 留数 34
三 留数的计算 35
四 留数的应用 35
〔附〕柯西积分主值 39
5 保角变换 39
一 基本概念 39
二 解析函数定义的变换 39
四 简单函数定义的变换 40
三 基本定理 40
五 保角变换的应用 46
Ⅱ 例题选解 47
Ⅲ 复变函数论简史与基本问题 62
第二章习题 66
第三章 傅里叶级数与傅里叶积分 77
Ⅰ 纲要 77
一 周期函数与振动 77
二 正交系与归一化正交系 78
三 傅里叶三角级数 80
四 二重傅里叶级数 82
五 一般傅里叶级数 83
六 傅里叶积分 85
Ⅱ 例题选解 88
Ⅲ 傅里叶级数简史与基本问题 91
第三章习题 95
第四章 特殊函数 103
Ⅰ 纲要 103
1 由积分定义的特殊函数 103
一 Г函数 103
二 В函数 105
一 数学物理中常遇到的二阶线性常微分方程 106
三 误差函数与余误差函数 106
2 由微分方程产生的特殊函数 106
二 方程的常点与奇点 107
三 二阶线性常微分方程幂级数解的基本定理 108
四 勒让得方程与勒让得多项武 108
五 缔合勒让得方程与缔合勒让得函数 113
六 贝塞尔方程与贝塞尔函数 115
七 虚宗量贝塞尔方程与虚宗量贝塞尔函数 122
八 球贝塞尔方程与球贝塞尔函数 125
九 厄米方程与厄米多项式 127
十 拉盖尔方程与拉盖尔多项式 129
Ⅱ 例题选解 132
Ⅲ 特殊函数论简史与基本问题 138
第四章习题 140
第五章 数学物理方程 147
Ⅰ 纲要 147
1 定解问题与方程的化简 147
一 基本概念 147
二 定解问题 147
三 方程的化简 148
一 推导泛定方程的原则性步骤 151
2 定解问题的提出 151
三 例题示范 152
二 定解条件的提出 152
3 定解问题常用解法之一——通解法 157
一 关于定解问题的求解 157
二 通解法的步骤与局限性 158
三 行波法解无界弦或杆的纵振动问题 158
四 通解法其他例 160
4 定解问题常用解法之二——分离变量法 161
一 有关概念 161
三 分离变量法解问题Ⅰ 162
二 一般初边值定解问题的分解 162
四 问题Ⅱ的转化——边界条件齐次化 168
五 问题Ⅲ的各种解法 169
六 分离变量法解无界域问题 172
七 正交曲线坐标系中的变量分离 173
5 特殊函数的应用 178
一 斯特姆-刘维本征值问题 178
二 球函数 180
三 球坐标系中拉普拉斯方程在自然条件下的傅里叶级数解 182
四 球坐标系中亥姆霍兹方程的本征解 183
五 柱坐标系下拉普拉斯方程满足部分边界条件的一般解 184
六 柱坐标系下亥姆霍兹方程的本征解 185
七 稳恒振动 平面波的展开 186
附一 δ函数 189
附二 冲量法诠释 192
Ⅱ 例题选解 193
Ⅲ 数学物理方程简史与基本问题 211
第五章习题 214
一 格林函数的概念 227
Ⅰ 纲要 227
第六章 格林函数 227
二 格林函数法 228
三 格林函数实例 234
四 格林函数法解题示范 238
Ⅱ 例题选解 240
Ⅲ 格林函数简史与基本问题 246
第六章习题 248
第七章 积分变换 252
Ⅰ 纲要 252
二 拉普拉斯变换存在的条件 253
三 简单函数的拉氏变换举例 253
一 定义 253
1 拉普拉斯变换 253
四 拉氏变换的简单性质 254
五 拉氏变换反演的基本定理 255
六 拉氏变换的应用 257
2 傅里叶变换 259
一 定义 259
二 傅里叶变换与逆变换举例 260
三 傅里叶变换的性质 261
四 Fc变换与Fs变换 262
五 解题示范 263
例题选解 266
积分变换简史与基本问题 278
第七章习题 281
第八章 变分法 290
Ⅰ 纲要 290
一 基本概念 290
二 泛函的极值 291
三 泛函V〔y〕=？F(x,y,y′)dx有极值的必要条件——欧拉方程 292
四 多个函数的泛函的极值 293
五 含高阶导数的泛函的极值 293
六 由重积分定义的泛函的极值 294
七 泛函的条件极值 295
八 可动端界的变分问题 297
九 哈密顿原理 299
十 变分问题的直接解法 301
Ⅱ 例题选解 303
Ⅲ 变分法简史与基本问题 308
第八章习题 311
第九章 积分方程 316
Ⅰ 纲要 316
一 基本概念 316
二 线性积分方程的分类 317
三 导致积分方程的典型问题 318
四 退化核积分方程 321
五 实对称核积分方程 323
六 迭代法求非齐次积分方程的级数解 329
Ⅱ 例题选解 333
Ⅲ 积分方程论简史与基本问题 338
第九章习题 340
拉普拉斯变换表 344
傅里叶变换表 346
习题参考答案 348
外国人名对照表 383