第1章 矩阵及其基本运算 1
1.1 矩阵的概念及其运算 1
1.1.1 矩阵的概念 1
1.1.2 几种特殊的矩阵 2
1.1.3 矩阵的线性运算 3
1.1.4 矩阵的乘法 4
1.1.5 线性方程组的矩阵形式 7
1.1.6 矩阵的转置 8
1.1.7 对称阵与反对称阵 9
思考题1-1 10
习题1-1 10
提高题1-1 11
1.2 向量与矩阵的分块 12
1.2.1 向量 12
1.2.2 矩阵的分块 13
思考题1-2 16
习题1-2 16
提高题1-2 17
1.3 初等变换与初等阵 17
1.3.1 初等变换 17
1.3.2 初等阵 19
1.3.3 矩阵的等价标准形 20
思考题1-3 22
习题1-3 22
提高题1-3 23
第2章 行列式 24
2.1 n阶行列式的定义 24
附录 用逆序数给出的行列式的定义 26
习题2-1 27
2.2 行列式的性质 27
附录 性质2-1及性质2-2的证明 30
思考题2-2 31
习题2-2 31
提高题2-2 32
2.3 行列式的计算 33
2.3.1 按行（列）展开法 33
2.3.2 化为三角行列式 34
2.3.3 先化简再展开 34
2.3.4 范德蒙德行式 35
2.3.5 各行（列）元素之和相等的行列式 36
2.3.6 三线型行列式 36
2.3.7 递推法及三对角行列式 37
思考题2-3 38
习题2-3 38
提高题2-3 40
2.4 分块三角行列式及矩阵乘积的行列式 41
附录 拉普拉斯定理简介 42
思考题2-4 43
习题2-4 43
提高题2-4 43
第3章 可逆阵及n×n型线性方程组 45
3.1 可逆阵 45
3.1.1 可逆阵的定义 45
3.1.2 伴随阵及矩阵可逆的条件 46
3.1.3 求逆阵的初等变换法 50
3.1.4 矩阵方程 52
思考题3-1 54
习题3-1 54
提高题3-1 57
3.2 n×n型线性方程组 57
3.2.1 n×n型齐次线性方程组 57
3.2.2 n×n型非齐次线性方程组 58
习题3-2 59
提高题3-2 60
3.3 分块阵的初等变换 60
思考题3-3 63
习题3-3 63
第4章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 64
4.1 向量组的线性相关性和秩 64
4.1.1 向量组的线性相关性 65
4.1.2 向量组的秩和极大无关组 69
思考题4-1 70
习题4-1 70
提高题4-1 71
4.2 矩阵的秩 71
4.2.1 矩阵的秩的概念 71
4.2.2 矩阵的秩的性质 72
4.2.3 满秩阵 76
附录 性质4-2的证明 77
思考题4-2 78
习题4-2 79
提高题4-2 80
4.3 矩阵的秩在向量组中的应用 80
4.3.1 判断向量组的线性相关性 80
4.3.2 求向量组的线性相关性 80
4.3.3 等价向量组 82
思考题4-3 84
习题4-3 85
第5章 线性方程组 86
5.1 线性方程组解的存在性 86
5.1.1 齐次线性方程组有非零解的充要条件 86
5.1.2 非齐次线性方程组解的存在性 86
思考题5-1 88
习题5-1 88
5.2 线性方程组解的性质、结构与解法 89
5.2.1 线性方程组解的性质 89
5.2.2 齐次线性方程组解的结构 89
5.2.3 非齐次线性方程组解的结构 91
5.2.4 利用矩阵的初等行变换解线性方程组 92
思考题5-2 94
习题5-2 94
第6章 向量空间及向量的正交性 96
6.1 向量空间 96
6.1.1 向量空间的定义 96
6.1.2 向量空间的基与维数 97
6.1.3 向量在基下的坐标 98
6.1.4 过渡矩阵与坐标变换 99
习题6 1 101
6.2 向量的正交性 101
6.2.1 向量的内积 101
6.2.2 正交基与施密特正交化方法 103
6.2.3 正交阵 104
思考题6-2 106
习题6-2 106
提高题6-2 106
第7章 方阵的特征值与相似对角化 108
7.1 方阵的特征值及其特征向量 108
7.1.1 特征值与特征向量的概念及计算 108
7.1.2 特征值与特征向量的性质 110
思考题7-1 112
习题7-1 113
提高题7-1 113
7.2 相似矩阵 114
7.2.1 相似矩阵的概念与性质 114
7.2.2 相似对角化 115
思考题7-2 118
习题7-2 118
提高题7-2 119
7.3 实对称阵的相似对角化 119
7.3.1 共轭矩阵 119
7.3.2 实对称阵的性质 120
7.3.3 正交相似变换矩阵的求法 122
思考题7-3 124
习题7-3 124
提高题7-3 125
第8章 二次型 126
8.1 二次型的概念及标准形 126
8.1.1 二次型的定义及矩阵表示 126
8.1.2 线性变换与相合变换 127
8.1.3 用正交变换化二次型为标准形 128
8.1.4 用配方法化二次型为标准形 130
8.1.5 惯性定理 131
思考题8-1 133
习题8-1 134
8.2 正定二次型与正定阵 134
思考题8-2 139
习题8-2 139
提高题8-2 140
第9章 线性空间及其线性变换 141
9.1 线性空间与内积空间 141
9.1.1 线性空间 141
9.1.2 内积空间 143
习题9-1 144
9.2 线性空间的基、维数与坐标 144
9.2.1 基、维数与坐标的概念 144
9.2.2 基变换与坐标变换 146
习题9-2 147
9.3 线性变换及其矩阵表示 148
9.3.1 线性变换的概念 148
9.3.2 线性变换的矩阵表示 149
习题9-3 152
第10章 线性代数应用举例 153
10.1 矩阵乘法的应用 153
10.2 行列式在解析几何中的应用 155
10.3 逆矩阵在密码传输中的应用 157
10.4 极大无关组与线性表示的应用 158
10.5 线性方程组在实际问题中的应用 160
10.6 线性经济模型（投入产出模型） 162
10.7 最小二乘法 164
10.8 相似对角化的应用 165
10.9 多元函数的极值问题 168
附录 关键词汉英对照 170