有理数的概念 1
绝对值 1
实数 1
一、有理数 1
有理数的运算 2
近似数及有效数字 3
无理数的概念 5
二、无理数 5
刘徽 7
四、相关知识链接 7
三、实数的概念 7
实数 7
程大位 8
中国是最早使用负数的国家 9
中国数学史 10
无理数的由来 10
代数式的概念 17
一、代数式 17
代数式及其运算 17
多项式 18
单项式 18
加减运算 19
二、整式的加减乘除 19
代数式的运算 19
除法运算 20
乘法运算 20
因式分解的方法 21
因式分解的概念 21
三、因式分解 21
分式的概念及性质 22
四、分式 22
杨辉 23
五、相关知识链接 23
分式的运算 23
陈景润 24
中国数学奥林匹克 25
歌德巴赫猜想 25
巴比伦数学 26
解方程 28
方程的概念 28
方程 28
一、一元一次方程 28
二元一次方程组的解法 29
二元一次方程组的概念 29
方程同解原理 29
二、二元一次方程组 29
三元一次方程组 30
多元方程 30
配方法解一元二次方程 31
因式分解法解一元二次方程 31
三、一元二次方程 31
一元二次方程的概念 31
一元二次方程根与系数的关系 32
公式法解一元二次方程 32
分式方程的解法 33
分式方程的概念 33
代数基本定理 33
四、分式方程 33
验根 34
代数方程 34
五、代数方程 34
二元二次方程组 35
二元二次方程 35
超越方程 35
六、二元二次方程组 35
二元二次方程组的解法 36
二元线性方程组的行列式解法 37
二阶行列式 37
七、行列式 37
三阶行列式 38
代数余子式 39
三阶行列式的性质 39
三元线性方程组的行列式解法 40
关于代数 41
八、相关知识链接 41
三元齐次线性方程组 41
关于中国古代的一次方程组 42
阿贝尔 44
中国古代的一个一元二次方程 44
韦达 45
丢番图 46
华罗庚 46
角 47
直线的基本性质 47
平面几何知识 47
一、基本概念 47
几何学 47
垂线 48
对顶角 48
角的平分线 48
三角形的分类 49
多边形的内角和定理 49
点到直线的距离 49
等腰三角形 49
二、三角形 49
多边形 49
勾股定理 50
三角形的性质 50
三角形的角平分线、高线、中线 52
三角形的垂心、重心、内心、外心、旁心 53
等腰三角形的性质 54
全等三角形的判定 54
全等三角形 54
轴对称的性质 55
轴对称 55
线段的垂直平分线 55
平行线的性质 56
平行公理 56
三、平行线 56
同位角、内错角、同旁内角 56
平行线 56
两平行线的公垂线 56
平行四边形的判定及性质 57
四、平行四边形 57
平行线的判定方法 57
中心对称图形 58
正方形的判定及性质 58
矩形的判定及性质 58
菱形的判定及性质 58
直角梯形 59
等腰梯形 59
五、梯形 59
梯形 59
平行线分线段成比例定理 60
四边形的分类 60
比例的性质 61
成比例线段 61
平行线等分线段定理 61
六、相似形 61
相似三角形的判定 62
相似三角形 62
黄金分割 62
圆的基本概念 63
七、圆 63
相似三角形的性质 63
点的轨迹 64
圆的相关性质 64
多边形的外接圆 65
弓形的面积公式 65
圆周长公式 65
弧长公式 65
圆的面积公式 65
扇形的面积公式 65
正多边形的外接圆和内切圆 66
多边形的内切圆 66
两圆的位置关系 67
圆的切线的判定和性质 67
直线和圆的位置关系 67
切线长定理 68
两圆的公切线 68
卜拉美古塔定理 69
垂径定理 69
弦切角定理 69
相交弦定理 69
切割线定理 69
中国古代有关三角的一些研究 70
八、相关知识链接 70
托勒密定理 70
梅涅劳定理 70
塞瓦定理 70
西摩松线 70
关于圆周率π 71
徐光启 73
祖冲之 74
欧几里得 74
泰勒斯 75
希尔伯特 76
十六、十七世纪数学 77
集合 80
一、集合与集合的运算 80
集合与简易逻辑 80
集合的分类 81
集合的表示方法 81
集合与集合的关系 82
有限集合的子集个数公式 83
集合的运算性质 83
逻辑联结词 84
命题 84
二、逻辑联结词与四种命题 84
复合命题的真值表 85
四种命题 86
开语句 86
反证法 87
逻辑等价 87
四种命题的关系 87
充分条件与必要条件 88
三、充要条件 88
罗素悖论 89
康托 89
四、相关知识链接 89
十九世纪数学 90
对应 95
一、函数 95
函数 95
映射 96
函数 97
常量与变量 97
一一映射 97
逆映射 97
函数的图象 98
平面直角坐标系 98
一元函数 99
常函数 99
同一函数 99
区间 99
反比例函数 100
正比例函数 100
二元函数 100
多元函数 100
二次函数 101
一次函数 101
函数的表示方法 102
分段函数 102
单调区间 103
函数的单调性 103
增函数 103
减函数 103
偶函数 104
复合函数的单调性 104
复合函数 104
反函数的性质 105
反函数 105
奇函数 105
函数图象的作法 106
根式 107
二、指数与指数函数 107
指数的运算性质 108
指数 108
指数函数的图象及性质 109
指数函数 109
对数的基本性质 110
自然对数 110
三、对数与对数函数 110
对数 110
常用对数 110
对数函数的图象和性质 111
对数函数 111
对数的运算性质 111
对数的换底公式 111
指数、对数方程 112
笛卡尔 113
陈建功 113
四、相关知识链接 113
传染病传播 114
数列 116
一、数列 116
数列 116
数列的表示方法 117
数列的通项公式 117
数列的分类 118
等差数列的概念 119
二、等差数列 119
递推公式 119
数列的前n项和 119
等差中项 120
等差数列的求和 120
等差数列的通项公式 120
等差数列的性质 121
等比数列的求和 122
等比数列的增减性 122
三、等比数列 122
等比数列的概念 122
等比数列的通项公式 122
等比数列的性质 123
等比中项 123
常用数列求和方法 124
等差数列、等比数列的判定方法 124
斐波那契 125
四、相关知识链接 125
老鼠的繁殖问题 126
植树造林绿化环境问题 127
用优惠券购书 128
分期付款问题 130
弧度制 132
任意角的概念 132
三角函数 132
一、任意角的三角函数 132
任意角的三角函数 133
弧长公式 133
三角函数线 134
正弦、余弦、正切的诱导公式 135
同角三角函数的关系式 135
三角函数值的符号 135
两角和与差的正弦、余弦、正切 137
二、两角和与差的三角函数 137
和差化积、积化和差公式 138
二倍角、半角的正弦、余弦、正切 138
三角函数的图象 139
三、三角函数的图象和性质 139
三角函数的周期 141
周期函数 141
正弦函数、余弦函数的性质 142
正切函数、余切函数的性质 143
函数y=Asin（ωx+？）的图象和性质 144
戴煦 145
明安图 145
四、相关知识链接 145
中国发展数学的重要计划 146
零向量 148
向量的模 148
平面向量 148
一、向量及其运算 148
向量 148
向量的加法 149
相反向量 149
单位向量 149
自由向量 149
平行向量 149
相等向量 149
向量的减法 150
实数与向量的积 151
平面向量的数量积 152
两点间的距离公式 153
平面向量的垂直 153
平面向量基本定理 153
平面向量的平行 153
线段的定比分点 154
平移 155
正弦定理 156
解斜三角形 156
二、解三角形 156
解直角三角形 156
三角形的面积公式 157
余弦定理 157
人造地球卫星的运行问题 158
三、相关知识链接 158
通讯网络 159
一元一次不等式组 161
一元一次不等式 161
不等式 161
一、不等式及其性质 161
不等式 161
不等式的性质 162
无理不等式 162
一元二次不等式 162
一元二次不等式组 162
绝对值不等式 162
分式不等式 162
算术平均数与几何平均数 163
二、不等式的证明 163
常用基本不等式 164
不等式的证明方法 165
绝对值不等式的性质 165
柯西不等式 165
不等式的同解原理 166
三、不等式的解法 166
一元二次不等式的解法 167
一元一次不等式的解法 167
分式不等式的解法 168
简单的高次不等式的解法 168
含绝对值的不等式的解法 169
无理不等式的解法 169
柯西 170
四、相关知识链接 170
人口与耕地问题 171
库存 172
蔬菜运输方式的选择 173
直线的斜率 177
直线的倾斜角 177
直线和圆的方程 177
一、直线的方程 177
直线方程的形式 178
直线的方程 178
直线的方向向量 178
两条直线位置关系的判定方法 180
垂直 180
法向量 180
二、两条直线的位置关系 180
平行 180
两直线的夹角 181
点到直线的距离 182
直线系 182
两直线的交点 182
二元一次不等式表示的平面区域 183
三、简单的线性规划 183
线性规划 184
曲线和方程 185
四、圆 185
求曲线的方程 186
圆的标准方程 187
解析几何 187
曲线的交点 187
确定圆的方程的方法 188
直线和圆的位置关系 189
普通方程 189
参数方程 189
圆的参数方程 189
圆的切线方程的求法 190
两圆的位置关系 190
圆的弦长的求法 191
数学发展简史 192
五、相关知识链接 192
圆系方程 192
台风预报 200
椭圆的定义 201
一、椭圆 201
圆锥曲线方程 201
椭圆的参数方程 202
椭圆的标准方程及几何性质 202
椭圆的通径 203
椭圆的焦点弦 203
椭圆的焦半径 203
椭圆的焦准距 203
双曲线的定义 204
二、双曲线 204
双曲线的标准方程及几何性质 205
双曲线的渐近线的特征与求法 206
双曲线的通径 206
双曲线的焦半径 206
抛物线的定义 207
三、抛物线 207
双曲线系 207
共轭双曲线 207
抛物线的焦点弦 208
抛物线的焦半径 208
抛物线的标准方程及几何性质 208
直线与圆锥曲线的位置关系 209
圆锥曲线的统一定义 209
四、圆锥曲线 209
秦九韶 210
五、相关知识链接 210
李善兰 211
预测水位上涨 212
生态平衡问题 212
平面 215
空间多边形 215
直线平面简单几何体 215
一、空间的直线和平面 215
几何 215
空间图形 215
立体几何 215
平面的基本性质 216
空间图形在平面内的表示方法 218
等角定理 219
空间的直线 219
异面直线所成的角 220
异面直线 220
空间图形的平移 220
空间的直线和平面平行 221
空间直线和平面的位置关系 221
直线与平面垂直 222
空间的平面与平面平行 222
三垂线定理的逆定理 223
三垂线定理 223
空间向量 224
二、空间向量 224
平面与平面垂直 224
共线向量 225
平行六面体 225
相等的空间向量 225
空间向量的运算 225
基向量 226
基底 226
空间直线的向量参数表示式 226
共面向量 226
向量的数量积 227
向量的垂直 227
空间向量基本定理 227
向量的长度 227
空间直角坐标系 228
单位正交基底 228
向量的正射影 228
用向量解几何题的一般方法 228
向量的直角坐标运算 229
点在空间直角坐标系中的坐标 229
右手直角坐标系 229
向量a的坐标 229
空间两点间的距离公式 230
向量的夹角公式 230
法向量 230
平面的斜线与平面所成的角 231
三、夹角和距离 231
直二面角 232
二面角的平面角 232
二面角 232
直线到平面的距离 233
点到直线的距离 233
图形与图形的距离 233
点与点间的距离 233
点到平面的距离 233
多面体 234
四、简单多面体与球 234
两平行平面的距离 234
异面直线的距离 234
棱柱 235
凸多面体 235
正方体 236
长方体 236
棱柱的性质 236
棱锥的性质 237
棱锥 237
棱台 238
祖暅原理 238
正棱台 239
正多面体 240
欧拉定理 241
简单多面体 241
正多面体的性质的应用 241
球的表面积公式 242
球的体积公式 242
拓扑学 242
球面 242
球体 242
大圆、小圆 242
球的性质 242
祖暅 243
五、相关知识链接 243
球面距离 243
欧氏几何与非欧几何 244
阿基米德 244
罐头盒的设计问题 248
测量降雨量 248
排列数 250
排列 250
排列、组合和二项式定理 250
一、排列与组合 250
分类计数原理与分步计数原理 250
组合数 251
组合 251
全排列 251
阶乘 251
二项式定理 252
二、二项式定理 252
相异元素可以重复的排列数公式 252
二项式系数的性质 253
二项展开式的性质 253
欧拉 254
汪莱 254
三、相关知识链接 254
阿拉伯数学 256
足球甲A联赛 256
随机现象 259
确定性现象 259
概率与统计 259
一、概率 259
概率论 259
事件A的概率 260
频率 260
必然事件 260
不可能事件 260
随机事件 260
等可能事件的概率 261
基本事件 261
互斥事件有一个发生的概率 262
互斥事件 262
对立事件的概率 263
对立事件 263
独立重复试验的概率 264
独立重复试验 264
相互独立事件 264
相互独立事件同时发生的概率 264
随机变量 265
二、随机变量 265
概率的和与积的互补公式 265
大数定律 265
离散型随机变量的分布列 266
连续型随机变量 266
离散型随机变量 266
期望 267
二项分布 267
随机变量的方差 268
一组数据的方差 268
统计学 269
三、统计 269
极差 269
标准差 269
方差与标准差的性质 269
平均数 270
抽样 270
总体、个体和样本 270
众数 271
加权平均数 271
总体平均数 271
变异系数 272
平均差 272
中位数 272
随机数表法 273
抽签法 273
简单随机抽样 273
分层抽样 274
系统抽样 274
总体分布的估计 275
不放回抽样 275
简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的区别与联系 275
放回抽样 275
频率分布条形图 276
频率分布表 276
频率分布直方图 277
累积频率 277
组距 277
总体密度曲线 279
总体分布 279
累积频率分布图 279
正态曲线 280
正态分布 280
标准正态曲线 281
标准正态总体 281
线性回归 282
一般正态总体与标准正态总体的转化 282
回归直线方程 283
样本相关系数 284
费马 285
泊松 285
四、相关知识链接 285
“彩票”的中奖率 286
掷骰子游戏 286
数学归纳法 288
特殊命题和一般命题 288
极限 288
一、数学归纳法 288
杨辉三角 289
完全归纳法 289
不完全归纳法 289
数列极限的四则运算 290
数列极限的性质 290
二、极限 290
数列的极限 290
函数的极限 291
函数的极限的性质 292
函数的右极限 292
函数的单侧极限 292
函数的左极限 292
两个重要的极限 293
函数极限的四则运算 293
最大值最小值定理 294
函数的连续性 294
戴德金 295
三、相关知识链接 295
间断点 295
达朗贝尔 296
求和的困惑 297
求函数导数的方法 298
导数的概念 298
导数与微分 298
一、导数 298
导数的几何意义 299
导函数 299
函数的和、差、积、商的导数 300
几种常见函数的导数 300
二阶导数 301
对数求导法 301
反函数的导数 301
复合函数的导数 302
导数的莱布尼兹符号 302
三阶导数 302
n阶导数 302
高阶导数 302
判断函数的单调性 303
二、导数的应用 303
对数函数与指数函数的导数 303
求函数的最大值与最小值 304
求函数的极值 304
判定曲线凹性的方法 305
曲线拐点的求法 306
拐点 306
微分 307
三、微分 307
渐近线 307
原函数 307
复合函数的微分 308
中值定理 309
洛必达法则 310
牛顿 311
四、相关知识链接 311
帕斯卡 312
莱布尼茨 312
十八世纪数学 313
复数 316
虚数单位 316
复数 316
一、复数的概念 316
复数的除法 317
复数的乘法 317
两个复数相等 317
共轭复数 317
复数集 317
二、复数的代数运算 317
复数的加法与减法 317
复平面 318
三、复数的向量表示 318
复数的开方 318
复数加法的几何意义 319
复数的模 319
复数的运算性质 320
复数减法的几何意义 320
复数的指数形式 321
棣美佛定理 321
四、复数的三角形式 321
复数的幅角 321
复数的三角形式 321
18个21世纪的重大数学问题 322
五、相关知识链接 322
国际数学奥林匹克 324
用配方法求函数的值域 326
一、基本解题方法 326
解题方法与技巧 326
用配方法解决平面几何问题 327
用配方法求函数的最大值、最小值 327
用待定系数法求曲线的方程问题 328
用待定系数法解决方程的曲线问题 328
用两点间的距离解决最小值问题 328
用构造法解决二项式系数问题 329
用构造法解决函数问题 329
用构造法解决不等式问题 330
用构造法解决平面几何问题 330
用列举法解决与自然数有关的问题 331
用列举法解决集合问题 331
用列举法解决排列、组合问题 332
用列举法解决计数问题 332
用递推法解决比较大小问题 333
用递推法解决数列的通项问题 333
用递推法求极限 334
用递推法解决平面几何问题 335
用综合法解决三角形问题 336
用综合法解决计数问题 336
用综合法解决复数问题 337
用综合法解决解析几何问题 338
用分析法解决向量问题 339
用分析法解决不等式的证明问题 339
用分析法比较大小 340
用比较法证明不等式 341
用反证法证明否定性命题 342
用反证法证明不等问题 343
用反证法证明唯一性命题 343
用反证法证明“至多”、“至少”的问题 344
用放缩法证明不等式 345
因概念分段定义引起的分类讨论 346
二、分类讨论 346
因公式分段表达引起的分类讨论 347
因所实施的运算引起的分类讨论 349
因图形位置不确定引起的分类讨论 350
因图形的形状不同引起的分类讨论 351
因字母系数参与引起的分类讨论 352
因条件不唯一引起的分类讨论 353
三、避免分类讨论的策略 354
实数绝对值的平方 355
变量分离法 355
换元法 356
集合中的数形结合 357
四、数形结合 357
方程与函数的转化 357
命题中的数形结合 358
函数中的数形结合 359
不等式中的数形结合 360
方程中的数形结合 360
数列中的数形结合 361
用数形结合解决角的问题 362
平面上的曲线问题用方程解决 363
五、转化 364
空间图形与平面图形的转化 365
换元转化 365
变量间的转化 365
三棱锥的体积计算中转换顶点 366
把几何体分割后求体积 367
通过作截面进行等积转化 367
同解转化 368
整体转化 369
利用公式的变形进行转化 369
超越方程的转化 370
利用等积转化求点到平面的距离 370
无限与有限的转化 371
命题的转化 371
用常量与变量的相对性解决问题 372
六、函数方法 372
用变量的范围决定结果 374
用极限法求函数定义域 375
用公式法求函数解析式 376
用代换法求函数解析式 377
用直接法求函数解析式 378
用归纳法求函数解析式 378
多元等式转化为一元方程 379
七、方程的方法 379
将解析式赋值转化为方程 380
用数学归纳法证明数列的通项问题 381
八、数学归纳法 381
用数学归纳法证明整除问题 382
用数学归纳法证明不等式 382
用数学归纳法证明存在性问题 383
由平行四边形的性质推平行六面体的性质 384
九、类比推理 384
由正三角形的性质推正四面体的性质 385
附录一 数学大事年表 386
费尔兹奖 402
附录二 国际国内数学大奖 402
沃尔夫数学奖 405
阿贝尔奖 408
内万林纳奖 409
华罗庚数学奖 410
附录三 本书所用符号 411